Какой объем пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, если одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены под углом 60 градусов, при высоте пирамиды равной 12 см?

Математика 11 класс Объем пирамиды объём пирамиды правильный треугольник боковая грань высота пирамиды угол 60 градусов Новый

Для нахождения объема пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашем случае высота пирамиды h равна 12 см.

Теперь нам нужно найти площадь основания S. Поскольку основание является правильным треугольником, мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника:

S = (a^2 * √3) / 4

где a - длина стороны правильного треугольника.

Однако, чтобы найти длину стороны a, нужно учесть, что одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены под углом 60 градусов.

Так как одна из боковых граней перпендикулярна основанию, она образует прямой угол с плоскостью основания. Это значит, что высота пирамиды (12 см) является также высотой, проведенной из вершины пирамиды до основания.

Для боковых граней, которые наклонены под углом 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию. Если проведем перпендикуляр от вершины пирамиды до основания, то он будет делить основание на две равные части.

Обозначим длину стороны основания треугольника как a. Тогда высота правильного треугольника h' из вершины основания до его центра равна:

h' = (a * √3) / 6

Теперь, используя треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой основания и половиной стороны основания, мы можем записать:

tan(60) = h / (a/2)

где h - высота пирамиды (12 см).

Поскольку tan(60) = √3, у нас есть:

√3 = 12 / (a/2)

Из этого уравнения мы можем выразить a:

√3 * (a/2) = 12

a = 24 / √3

Теперь подставим значение a в формулу для площади основания S:

S = (a^2 * √3) / 4

Сначала найдем a^2:

a^2 = (24 / √3)^2 = 576 / 3 = 192

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

S = (192 * √3) / 4 = 48√3

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (48√3) * 12

V = 192√3

Таким образом, объем пирамиды равен 192√3 см³.