В четырёхугольной пирамиде SABCD, где длина каждого ребра составляет 18 см, плоскость сечения проходит через диагональ BD и перпендикулярна ребру SC. Каков объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение данной пирамиды?

Математика 11 класс Объем пирамиды объем четырехугольной пирамиды сечение пирамиды длина ребра 18 см перпендикуляр к ребру диагональ BD вершина S основание сечения Новый

Чтобы найти объём пирамиды SABCD с основанием в сечении, перпендикулярном ребру SC и проходящем через диагональ BD, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти объём исходной пирамиды SABCD.

Пирамида SABCD имеет треугольное основание ABC и вершину S. Поскольку все ребра равны 18 см, мы можем рассмотреть основание ABC как равносторонний треугольник.

• Длина стороны треугольника ABC равна 18 см.
• Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: Площадь = (sqrt(3)/4) * a^2, где a - длина стороны треугольника.
• Подставим a = 18 см: Площадь = (sqrt(3)/4) * (18)^2 = (sqrt(3)/4) * 324 = 81 * sqrt(3) см².

Теперь нужно найти высоту пирамиды от вершины S до основания ABC. Поскольку S является вершиной пирамиды, высота будет равна расстоянию от S до плоскости, в которой находится треугольник ABC.

• Для равностороннего треугольника высота h можно найти по формуле: h = (sqrt(3)/2) * a.
• Подставим a = 18 см: h = (sqrt(3)/2) * 18 = 9 * sqrt(3) см.

Теперь мы можем найти объём пирамиды SABCD по формуле: V = (1/3) * S * H, где S - площадь основания, H - высота.

• Подставим значения: V = (1/3) * (81 * sqrt(3)) * (9 * sqrt(3)) = (1/3) * 729 = 243 см³.

Шаг 2: Найти объём пирамиды с основанием в сечении.

Плоскость сечения проходит через диагональ BD и перпендикулярна ребру SC. Это значит, что основание новой пирамиды будет представлять собой треугольник, образованный точками, где плоскость пересекает стороны ABC и ребро SC.

Так как сечение проходит через BD, основание новой пирамиды будет иметь меньшую площадь, чем основание SABCD. Поскольку сечение делит пирамиду на две части, можно использовать соотношение объёмов.

• Объём новой пирамиды будет составлять половину объёма исходной, так как сечение делит пирамиду на две равные части по высоте.
• Таким образом, объём новой пирамиды: V_new = V / 2 = 243 / 2 = 121.5 см³.

В итоге, объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение данной пирамиды, составляет 121.5 см³.