Для решения задачи начнем с того, что у нас есть квадратное уравнение вида:

3x² + bx + c = 0

Согласно условиям задачи, корни этого уравнения равны:

• x₁ = 2tg α
• x₂ = 3ctg α

Согласно теореме Виета, сумма корней (x₁ + x₂) и произведение корней (x₁ * x₂) для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 выражаются следующим образом:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

В нашем случае a = 3, поэтому:

• x₁ + x₂ = -b/3
• x₁ * x₂ = c/3

Теперь подставим значения корней в формулы:

Сумма корней:

1. x₁ + x₂ = 2tg α + 3ctg α
2. Сравниваем с формулой: 2tg α + 3ctg α = -b/3

Произведение корней:

1. x₁ * x₂ = (2tg α) * (3ctg α) = 6 tg α * ctg α
2. Так как tg α * ctg α = 1, получаем: x₁ * x₂ = 6
3. Сравниваем с формулой: 6 = c/3

Теперь решим уравнение для c:

• 6 = c/3
• Умножим обе стороны на 3: c = 18

Таким образом, значение c равно:

c = 18