Можете помочь решить выражение (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/1225)?

Математика 11 класс Произведения и дроби математика 11 класс решение выражения произведение дробей задачи по математике алгебра математические выражения Новый

Конечно! Давайте разберем данное выражение шаг за шагом.

Выражение, которое мы хотим решить, выглядит так:

(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/1225)

Сначала заметим, что каждое слагаемое в произведении имеет вид (1 - 1/n^2), где n - это натуральные числа, начиная с 2 и заканчивая 35, так как 1225 = 35^2.

Теперь давайте упростим каждое слагаемое:

• 1 - 1/4 = 1 - 0.25 = 0.75 = 3/4
• 1 - 1/9 = 1 - 0.111... = 0.888... = 8/9
• 1 - 1/16 = 1 - 0.0625 = 0.9375 = 15/16
• ... и так далее, до ...
• 1 - 1/1225 = 1 - 1/1225 = 1224/1225

Теперь давайте запишем общее произведение:

(3/4) * (8/9) * (15/16) * ... * (1224/1225)

Обратите внимание, что каждый член имеет вид:

(n^2 - 1) / n^2 = ((n - 1)(n + 1)) / n^2

Таким образом, мы можем переписать произведение:

Произведение = (1/2 * 3/2) * (2/3 * 4/3) * (3/4 * 5/4) * ... * (34/35 * 36/35)

Теперь заметим, что в этом произведении происходит "сокращение" множителей:

• Все дроби, кроме первой и последней, сокращаются.

В результате у нас останется:

(1/2) * (36/35) = 18/35

Таким образом, окончательный ответ:

18/35