Можно подробнее объяснить, как решить уравнение sin(4x) + sin^2(x)?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрической функции Новый

Для решения уравнения sin(4x) + sin^2(x) = 0, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Понять уравнение

У нас есть два слагаемых: sin(4x) и sin^2(x). Мы можем рассматривать их по отдельности, чтобы понять, как они взаимодействуют друг с другом.

Шаг 2: Использовать тригонометрические идентичности

Мы знаем, что sin(4x) можно выразить через более простые функции. Используя формулу для синуса двойного угла, мы можем записать:

• sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)
• sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Таким образом, sin(4x) можно выразить как:

sin(4x) = 2 * (2 * sin(x) * cos(x)) * (1 - 2 * sin^2(x)) = 4 * sin(x) * cos(x) * (1 - 2 * sin^2(x))

Шаг 3: Подставить в уравнение

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

4 * sin(x) * cos(x) * (1 - 2 * sin^2(x)) + sin^2(x) = 0

Шаг 4: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

4 * sin(x) * cos(x) - 8 * sin^3(x) * cos(x) + sin^2(x) = 0

Это уравнение можно рассматривать как многочлен, где sin(x) является переменной.

Шаг 5: Вынести общий множитель

В данном уравнении мы можем вынести общий множитель:

sin(x) * (4 * cos(x) - 8 * sin^2(x) * cos(x) + sin(x)) = 0

Шаг 6: Найти корни

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

1. sin(x) = 0
2. 4 * cos(x) - 8 * sin^2(x) * cos(x) + sin(x) = 0

Шаг 7: Решение первого уравнения

Решая sin(x) = 0, мы получаем:

x = n * π, где n - целое число.

Шаг 8: Решение второго уравнения

Для второго уравнения 4 * cos(x) - 8 * sin^2(x) * cos(x) + sin(x) = 0, мы можем попробовать подставить sin(x) через cos(x), используя основное тригонометрическое тождество:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

После подстановки и упрощения мы можем найти дополнительные корни.

Шаг 9: Подведение итогов

Таким образом, у нас есть два типа решений:

• Корни, полученные из уравнения sin(x) = 0.
• Дополнительные корни из второго уравнения, которые нужно будет найти путем подстановки и решения.

В конце концов, мы получим все возможные решения уравнения sin(4x) + sin^2(x) = 0.