А) Как решить уравнение (1+tg^2x)sinx+tg^2x-1 =0? б) Как найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2П;7П/2]?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрической функции уравнение решить уравнение корни уравнения отрезок [2П;7П/2] математика тригонометрические функции синус тангенс решение уравнения Новый

Эй, давай разберемся с этим уравнением вместе!

А) Решение уравнения:

У нас есть уравнение:

(1 + tg^2x)sinx + tg^2x - 1 = 0

Давай упростим его шаг за шагом!

• Первое, что мы можем сделать, это заменить tg^2x на sin^2x/cos^2x:
• Получаем (1 + sin^2x/cos^2x)sinx + sin^2x/cos^2x - 1 = 0
• Умножим все на cos^2x, чтобы избавиться от дробей:
• sinx * cos^2x + sin^2x * sinx + sin^2x - cos^2x = 0
• Теперь соберем все в одну сторону:
• sinx * (cos^2x + sin^2x) + sin^2x - cos^2x = 0
• Используем известное тождество sin^2x + cos^2x = 1:
• Получаем sinx + sin^2x - cos^2x = 0
• Или sinx + sin^2x - (1 - sin^2x) = 0
• Соберем все с sin^2x:
• 2sin^2x + sinx - 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sinx! Используем формулу корней:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
• Корни: sinx = (-b ± √D) / 2a = (−1 ± 3) / 4
• Получаем два корня: sinx = 1/2 и sinx = -1

Теперь, когда мы нашли sinx, давай перейдем ко второй части!

Б) Находим все корни уравнения на отрезке [2П; 7П/2]:

• Для sinx = 1/2:
• Корни: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.
• Теперь подставляем k = 0, 1, 2 и проверяем:
1. k = 0: π/6 и 5π/6 (не попадают в отрезок)
2. k = 1: 13π/6 и 11π/6 (не попадают в отрезок)
3. k = 2: 25π/6 и 23π/6 (попадают в отрезок)
• Для sinx = -1:
• Корень: x = 3π/2 + 2kπ.
• Подставляем k = 0, 1, 2:
1. k = 0: 3π/2 (попадает в отрезок)
2. k = 1: 7π/2 (попадает в отрезок)

Итак, все корни на отрезке [2П; 7П/2]:

• 25π/6
• 23π/6
• 3π/2
• 7π/2

Вот и все! Ура! 🎉 Мы справились с уравнением! Если есть вопросы, не стесняйся, спрашивай!