Похожие вопросы
2025-12-05 06:37:09
Выберите правильные решения уравнения cos(x/3) = √3/2 на отрезке [0; 6π]?
Математика 11 класс Уравнения тригонометрической функции уравнение cos(x/3) решения уравнения cos(x/3) = √3/2 отрезок [0; 6π] математика 11 класс Тригонометрия периодические функции Новый
2025-12-05 06:37:30
Чтобы решить уравнение cos(x/3) = √3/2 на отрезке [0; 6π], мы начнем с нахождения общего решения для уравнения cos(α) = √3/2.
Зная, что косинус равен √3/2, мы можем определить углы, для которых это выполняется:
- α = π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.
- α = 11π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.
Теперь мы подставим x/3 вместо α:
- x/3 = π/6 + 2kπ,
- x/3 = 11π/6 + 2kπ.
Теперь умножим обе стороны уравнений на 3, чтобы выразить x:
- x = 3(π/6 + 2kπ) = π/2 + 6kπ,
- x = 3(11π/6 + 2kπ) = 11π/2 + 6kπ.
Теперь определим допустимые значения k, чтобы x оставалось в пределах отрезка [0; 6π].
Рассмотрим первое уравнение:
- Для k = 0: x = π/2. Это значение попадает в отрезок [0; 6π].
- Для k = 1: x = π/2 + 6π = 13π/2. Это значение также попадает в отрезок [0; 6π].
- Для k = 2: x = π/2 + 12π = 25π/2. Это значение уже не попадает в отрезок [0; 6π].
Теперь рассмотрим второе уравнение:
- Для k = 0: x = 11π/2. Это значение попадает в отрезок [0; 6π].
- Для k = 1: x = 11π/2 + 6π = 11π/2 + 12π/2 = 23π/2. Это значение также не попадает в отрезок [0; 6π].
Теперь соберем все найденные значения x, которые находятся в заданном отрезке:
- x = π/2,
- x = 11π/2,
- x = 13π/2.
Таким образом, правильные решения уравнения cos(x/3) = √3/2 на отрезке [0; 6π] это:
- π/2,
- 11π/2,
- 13π/2.