На доске записаны три натуральных числа. Каждую секунду вместо трёх чисел выписывают их попарные суммы. Через какое минимальное количество секунд наибольшее число на доске станет не более 33,334% от суммы всех трёх чисел, независимо от того, какие числа были изначально?

Математика 11 класс Проценты и пропорции математика натуральные числа попарные суммы наибольшее число процент от суммы минимальное количество секунд Новый

Давайте рассмотрим задачу подробнее и разберем, как можно получить ответ.

Пусть три натуральных числа, которые записаны на доске, обозначим как A, B и C. Сначала найдем их сумму:

Сумма S = A + B + C.

Каждую секунду мы заменяем три числа на их попарные суммы. То есть, на следующей секунде на доске будут числа:

• A + B
• B + C
• C + A

Теперь давайте найдем сумму новых чисел:

S' = (A + B) + (B + C) + (C + A) = 2A + 2B + 2C = 2S.

Таким образом, сумма чисел на доске удваивается каждую секунду.

Теперь мы хотим, чтобы наибольшее число на доске стало не более 33,334% от суммы всех чисел. Это можно записать как:

max(A, B, C) ≤ 0.33334 * S.

Для начала, определим, как изменяется максимальное число на доске. Пусть наибольшее из чисел A, B или C на первом шаге равно M = max(A, B, C). После первой секунды на доске будут числа:

• A + B
• B + C
• C + A

Из этих чисел максимальное значение будет:

max(A + B, B + C, C + A).

Заметим, что максимальное число на следующем шаге будет меньше или равно 2M, так как каждая из попарных сумм включает одно из чисел A, B или C, и добавляет к нему еще одно число.

Таким образом, после первой секунды максимальное число будет ≤ 2M. На следующем шаге:

max(A + B, B + C, C + A) ≤ 2M.

После второй секунды максимальное число будет ≤ 2 * 2M = 4M.

После третьей секунды максимальное число будет ≤ 8M, и так далее. В общем, после n секунд максимальное число будет ≤ 2^n * M.

Теперь мы хотим, чтобы:

2^n * M ≤ 0.33334 * S.

Подставим S = A + B + C, и мы получим:

2^n * M ≤ 0.33334 * (A + B + C).

Поскольку M ≤ (A + B + C)/3 (так как M - это максимальное число), подставим это в неравенство:

2^n * (A + B + C)/3 ≤ 0.33334 * (A + B + C).

Сократим (A + B + C) (при условии, что они не равны нулю):

2^n / 3 ≤ 0.33334.

Умножим обе стороны на 3:

2^n ≤ 1.

Теперь найдем минимальное n, которое удовлетворяет этому неравенству. Поскольку 2^0 = 1, мы видим, что n = 0 подходит, но это не имеет смысла в контексте задачи, так как мы хотим, чтобы максимальное число уменьшалось.

Попробуем n = 1:

2^1 = 2 > 1.

Теперь проверим n = 2:

2^2 = 4 > 1.

И так далее. Мы видим, что с каждым увеличением n, значение 2^n будет расти. Таким образом, минимальное n, при котором 2^n станет меньше или равно 1, не существует.

Но, если мы хотим, чтобы максимальное число стало меньше 33,334% от суммы, нам нужно продолжать процесс, пока не достигнем нужного значения.

В итоге, при каждом шаге максимальное число увеличивается в два раза, и нам нужно, чтобы оно стало меньше 1/3 от суммы. Это произойдет, когда:

2^n * M ≤ (A + B + C) / 3.

Таким образом, минимальное количество секунд, через которое максимальное число станет не более 33,334% от суммы, будет равно:

n = 1.

Ответ: минимальное количество секунд равно 1.