Помогите, пожалуйста.

Пользуясь определением частного, докажите тождество:

(a⁴ - 7a² + 1) / (a² + 3a + 1) = a² - 3a + 1

Математика 11 класс Деление многочленов математика 11 класс определение частного тождество алгебра доказательство тождества Новый

Чтобы доказать данное тождество, мы воспользуемся определением частного и произведем деление многочлена (a⁴ - 7a² + 1) на (a² + 3a + 1). Для этого мы будем использовать метод деления многочленов.

Шаг 1: Запишем многочлены:

• Делимое: a⁴ - 7a² + 1
• Делитель: a² + 3a + 1

Шаг 2: Начнем деление. Первым делом мы делим старший член делимого на старший член делителя:

• Старший член делимого: a⁴
• Старший член делителя: a²

Делим: a⁴ / a² = a². Это будет первый член частного.

Шаг 3: Умножим весь делитель на a² и вычтем полученный результат из делимого:

• (a² + 3a + 1) * a² = a⁴ + 3a³ + a²

Теперь вычтем это произведение из делимого:

• (a⁴ - 7a² + 1) - (a⁴ + 3a³ + a²) = -3a³ - 8a² + 1

Шаг 4: Теперь повторим процесс. Делим старший член нового делимого (-3a³) на старший член делителя (a²):

• -3a³ / a² = -3a.

Это второй член частного.

Шаг 5: Умножим делитель на -3a и вычтем:

• (a² + 3a + 1) * (-3a) = -3a³ - 9a² - 3a

Теперь вычтем:

• (-3a³ - 8a² + 1) - (-3a³ - 9a² - 3a) = a² + 3a + 1

Шаг 6: Теперь снова делим старший член (a²) на старший член делителя (a²):

• a² / a² = 1.

Это третий член частного.

Шаг 7: Умножим делитель на 1 и вычтем:

• (a² + 3a + 1) * 1 = a² + 3a + 1

Теперь вычтем:

• (a² + 3a + 1) - (a² + 3a + 1) = 0.

Таким образом, мы получили остаток 0, и частное равно:

• a² - 3a + 1.

Итак, мы доказали, что:

(a⁴ - 7a² + 1) / (a² + 3a + 1) = a² - 3a + 1.