Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

1. Построение сечения тетраэдра плоскостью СВА1:

• Начнем с правильного тетраэдра ABCP, где A, B, C - вершины основания, а P - верхняя вершина.
• Определим точки A1, B1 и C1 как середины ребер AP, BP и CP соответственно. То есть:
• A1 - середина отрезка AP,
• B1 - середина отрезка BP,
• C1 - середина отрезка CP.
• Теперь проведем плоскость, которая проходит через точки C, B и A1. Эта плоскость будет сечением тетраэдра.

2. Доказательство, что AР перпендикулярно плоскости ВСА1:

• Для доказательства перпендикулярности нам нужно показать, что векторы, лежащие в плоскости СВА1, перпендикулярны вектору AP.
• Пусть векторы BC и BA1 лежат в плоскости СВА1. Мы можем найти их координаты, если знаем координаты точек A, B, C и P.
• В правильном тетраэдре все ребра равны, и можно использовать свойства векторов. Например, вектор AP можно представить как разность координат P и A.
• Если векторы BC и BA1 перпендикулярны вектору AP, то их скалярное произведение равно нулю:
• AP · BC = 0,
• AP · BA1 = 0.
• Таким образом, если скалярные произведения равны нулю, то AР перпендикулярно плоскости СВА1.

3. Нахождение площади треугольника ВСА1, если ребро тетраэдра равно 2:

• Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:
• Площадь = 1/2 * основание * высота.
• В данном случае основание можно взять за отрезок BC, а высота - это перпендикуляр, проведенный из точки A1 к отрезку BC.
• Так как ABC - равносторонний треугольник, его стороны равны 2 (так как ребро тетраэдра равно 2).
• Используя формулу для площади равностороннего треугольника, мы можем найти площадь треугольника ABC:
• Площадь ABC = (sqrt(3)/4) * (сторона^2) = (sqrt(3)/4) * (2^2) = sqrt(3).
• Теперь, чтобы найти площадь треугольника BCA1, необходимо учесть, что A1 - это середина ребра AP, что делает высоту равной половине высоты треугольника ABC.
• Таким образом, площадь треугольника BCA1 будет равна половине площади треугольника ABC:
• Площадь BCA1 = 1/2 * Площадь ABC = 1/2 * sqrt(3).

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.