Постройте график функции y=(x^2+1)(x+2)/-2-x и определите, при каких значениях k прямая y=kx касается графика в ровно одной точке.

Математика 11 класс Графики функций график функции касание графика прямая y=kx значения k математика задача по математике Новый

Для начала, давайте упростим функцию y, чтобы было легче работать с ней. Функция задана как:

y = (x^2 + 1)(x + 2) / (-2 - x)

Первым шагом будет преобразование этой функции. Умножим числитель:

• (x^2 + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2

Таким образом, мы можем записать функцию как:

y = (x^3 + 2x^2 + x + 2) / (-2 - x)

Теперь давайте найдем производную этой функции, чтобы определить, где прямая y = kx касается графика.

Для этого используем правило деления производных:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Где:

• u = x^3 + 2x^2 + x + 2
• v = -2 - x

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = 3x^2 + 4x + 1
• v' = -1

Теперь подставим в формулу:

y' = ((3x^2 + 4x + 1)(-2 - x) - (x^3 + 2x^2 + x + 2)(-1)) / (-2 - x)^2

Теперь упростим числитель:

y' = (-(3x^2 + 4x + 1)(2 + x) + (x^3 + 2x^2 + x + 2)) / (-2 - x)^2

Для нахождения значений k, при которых прямая y = kx касается графика функции, мы должны решить уравнение:

(x^3 + 2x^2 + x + 2) / (-2 - x) = kx

Умножим обе стороны на (-2 - x):

x^3 + 2x^2 + x + 2 = kx(-2 - x)

Раскроем скобки:

x^3 + 2x^2 + x + 2 = -2kx - kx^2

Переносим все в одну сторону:

x^3 + (2 + k)x^2 + (1 + 2k)x + 2 = 0

Теперь это кубическое уравнение. Для того чтобы прямая касалась графика в ровно одной точке, у этого уравнения должно быть ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант уравнения равен нулю.

Для кубического уравнения D = 0 можно использовать различные методы, но в общем случае это требует более сложных вычислений. Мы можем использовать метод нахождения производной и поиска критических точек, чтобы определить, при каких k прямая будет касаться графика.

Итак, подытожим:

• Найдите производную функции y.
• Решите уравнение, полученное при подстановке y = kx.
• Определите значения k, при которых дискриминант равен нулю.

Эти шаги помогут вам найти значения k, при которых прямая касается графика функции в ровно одной точке.