При каких значениях параметра а уравнение (x^2 - (3а + 1)x + 2a^2 + 3a - 2) / (x^2 - 6x + 5) = 0 имеет единственное решение?

Математика 11 класс Уравнения с параметрами уравнение с параметром единственное решение значения параметра а математика анализ уравнения квадратное уравнение условия для единственного решения Новый

Чтобы решить задачу, начнем с того, что уравнение имеет вид:

(x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2) / (x^2 - 6x + 5) = 0.

Это дробное уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому нам нужно рассмотреть оба этих условия.

Шаг 1: Найдем корни знаменателя.

Знаменатель x^2 - 6x + 5 можно разложить на множители:

x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5).

Знаменатель равен нулю при x = 1 и x = 5. Эти значения мы должны исключить, так как в этих точках уравнение не определено.

Шаг 2: Найдем условия для числителя.

Числитель у нас имеет вид:

x^2 - (3a + 1)x + (2a^2 + 3a - 2) = 0.

Чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Шаг 3: Вычислим дискриминант.

Формула дискриминанта D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c равна:

D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

• a = 1,
• b = -(3a + 1),
• c = 2a^2 + 3a - 2.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-(3a + 1))^2 - 4 * 1 * (2a^2 + 3a - 2).

Упростим это выражение:

D = (3a + 1)^2 - 4(2a^2 + 3a - 2).

Теперь раскроем скобки:

D = 9a^2 + 6a + 1 - (8a^2 + 12a - 8).

Упрощаем:

D = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 12a + 8 = a^2 - 6a + 9.

Теперь упростим еще больше:

D = (a - 3)^2.

Шаг 4: Условие для единственного решения.

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы D = 0:

(a - 3)^2 = 0.

Это уравнение имеет единственное решение:

a - 3 = 0,

откуда a = 3.

Шаг 5: Проверим, не равен ли знаменатель нулю при a = 3.

Теперь нам нужно проверить, не равен ли знаменатель нулю при x = 1 и x = 5:

Подставим a = 3 в числитель:

Числитель: x^2 - (3*3 + 1)x + (2*3^2 + 3*3 - 2) = x^2 - 10x + 25.

Теперь найдем корни числителя:

Дискриминант D = (-10)^2 - 4*1*25 = 100 - 100 = 0.

Числитель равен нулю при x = 5.

Таким образом, при a = 3 у нас есть единственное решение x = 5, но это значение равно 5, что делает знаменатель равным нулю.

Следовательно, уравнение не имеет решения при a = 3.

Заключение:

Таким образом, у уравнения (x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2) / (x^2 - 6x + 5) = 0 нет значений параметра a, при которых оно имеет единственное решение, так как при a = 3 это решение совпадает с корнем знаменателя.