При каком значении t сумма квадратов корней уравнения f(f(f(x)))=0 для квадратного трёхчлена f(x)=x^2−t будет равна 100?

Математика 11 класс Квадратные уравнения и их свойства значение t сумма квадратов корней уравнение квадратный трехчлен f(x)=x^2−t f(f(f(x)))=0 математика 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть квадратный трехчлен:

f(x) = x^2 - t

Нам нужно найти значение t, при котором сумма квадратов корней уравнения f(f(f(x))) = 0 равна 100.

Сначала найдем корни уравнения f(x) = 0:

• Решаем уравнение: x^2 - t = 0.
• Корни будут: x1 = √t и x2 = -√t.

Теперь подставим эти корни в функцию f еще два раза:

f(f(x)):

• f(f(x)) = f(x^2 - t) = (x^2 - t)^2 - t.
• Теперь решим уравнение: (x^2 - t)^2 - t = 0.

Обозначим y = x^2 - t, тогда у нас получается:

• y^2 - t = 0.
• y = ±√t.

Теперь вернемся к x:

• 1) x^2 - t = √t, отсюда x^2 = √t + t, x = ±√(√t + t).
• 2) x^2 - t = -√t, отсюда x^2 = -√t + t, x = ±√(t - √t).

Теперь у нас есть 4 корня уравнения f(f(x)) = 0:

• x1 = √(√t + t),
• x2 = -√(√t + t),
• x3 = √(t - √t),
• x4 = -√(t - √t).

Теперь перейдем к f(f(f(x))) = 0:

• Мы должны подставить корни, которые мы нашли, в f(x) и решить уравнение для каждого из них.

Сначала найдем сумму квадратов корней:

• Сумма квадратов корней x1 и x2: (√(√t + t))^2 + (-√(√t + t))^2 = 2(√t + t).
• Сумма квадратов корней x3 и x4: (√(t - √t))^2 + (-√(t - √t))^2 = 2(t - √t).

Итак, общая сумма квадратов корней:

2(√t + t) + 2(t - √t) = 2(2t) = 4t.

Теперь нам нужно, чтобы эта сумма равнялась 100:

4t = 100.

Решим это уравнение:

• t = 100 / 4 = 25.

Ответ: Значение t, при котором сумма квадратов корней уравнения f(f(f(x))) = 0 равна 100, равно 25.