Пусть f (x) – квадратный трехчлен. Известно, что уравнение f (x) • f (1/x) = 0 имеет четыре корня, сумма которых равна нулю. Докажите, что сумма каких-то двух корней этого уравнения также равна нулю.

Математика 11 класс Квадратные уравнения и их свойства квадратный трехчлен уравнение f(x) f(1/x) корни уравнения сумма корней доказательство суммы корней Новый

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x) в общем виде:

f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b, c - некоторые коэффициенты, а a ≠ 0.

Теперь подставим 1/x в функцию f:

f(1/x) = a(1/x)^2 + b(1/x) + c = a/x^2 + b/x + c.

Теперь запишем произведение f(x) и f(1/x):

f(x) * f(1/x) = (ax^2 + bx + c)(a/x^2 + b/x + c).

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е.:

f(x) = 0 или f(1/x) = 0.

Пусть у уравнения f(x) = 0 есть два корня: x1 и x2. Тогда:

• Сумма корней: x1 + x2 = -b/a.

Теперь рассмотрим уравнение f(1/x) = 0. Его корни можно выразить как:

• 1/x1 и 1/x2.

Таким образом, у нас есть четыре корня у уравнения f(x) * f(1/x) = 0:

• x1, x2, 1/x1, 1/x2.

Из условия задачи известно, что сумма всех корней равна нулю:

x1 + x2 + 1/x1 + 1/x2 = 0.

Теперь преобразуем сумму:

x1 + x2 + (x1 + x2) / (x1 * x2) = 0.

Обозначим S = x1 + x2 и P = x1 * x2. Тогда у нас есть:

S + S/P = 0.

Перепишем это уравнение:

S(1 + 1/P) = 0.

Так как S не может быть равно нулю (иначе оба корня x1 и x2 были бы равны и у нас было бы только два корня), то мы можем заключить, что:

1 + 1/P = 0,

что приводит к:

P = -1.

Это означает, что произведение корней x1 и x2 равно -1. Теперь, если мы рассмотрим сумму корней:

x1 + 1/x2 = 0 или x2 + 1/x1 = 0.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что сумма каких-то двух корней этого уравнения действительно равна нулю. Например, сумма корней x1 и 1/x1 равна нулю:

x1 + 1/x1 = 0.

Таким образом, мы доказали, что сумма каких-то двух корней уравнения f(x) * f(1/x) = 0 также равна нулю.