Решить систему матричным методом:

1. 2x - y + z = 2
2. 3x + 2y + 2z = -2
3. x - 2y + z = 1

Математика 11 класс Системы линейных уравнений решить систему уравнений матричный метод 11 класс математика линейные уравнения система уравнений 3 переменные Новый

Для решения данной системы линейных уравнений матричным методом, мы начнем с записи системы в матричной форме. Система уравнений выглядит следующим образом:

• 2x - y + z = 2
• 3x + 2y + 2z = -2
• x - 2y + z = 1

Мы можем представить эту систему в виде матричного уравнения Ax = b, где:

• A - матрица коэффициентов,
• x - вектор переменных,
• b - вектор свободных членов.

Сначала запишем матрицу A и векторы x и b:

A =

• [2, -1, 1]
• [3, 2, 2]
• [1, -2, 1]

x = [x, y, z]

b =

• [2]
• [-2]
• [1]

Теперь мы можем записать уравнение в матричной форме:

A * x = b

Для нахождения решения этой системы мы будем использовать метод Гаусса, который включает в себя преобразование матрицы A в верхнюю треугольную форму. Начнем с расширенной матрицы [A|b]:

[A|b] =

• [2, -1, 1 | 2]
• [3, 2, 2 | -2]
• [1, -2, 1 | 1]

Теперь начнем с первого уравнения и будем исключать переменные из последующих уравнений:

1. Умножим первое уравнение на 3/2 и вычтем из второго уравнения:
• 3/2 * [2, -1, 1 | 2] = [3, -3/2, 3/2 | 3]
• Теперь вычтем: [3, 2, 2 | -2] - [3, -3/2, 3/2 | 3] = [0, 7/2, 1/2 | -5]
2. Теперь у нас есть:
• [2, -1, 1 | 2]
• [0, 7/2, 1/2 | -5]
• [1, -2, 1 | 1]
3. Теперь вычтем 1/2 * первое уравнение из третьего:
• 1/2 * [2, -1, 1 | 2] = [1, -1/2, 1/2 | 1]
• [1, -2, 1 | 1] - [1, -1/2, 1/2 | 1] = [0, -3/2, 1/2 | 0]
4. Теперь у нас такая матрица:
• [2, -1, 1 | 2]
• [0, 7/2, 1/2 | -5]
• [0, -3/2, 1/2 | 0]

Теперь мы можем продолжить преобразование:

1. Умножим второе уравнение на 2/7:
• [0, 1, 1/7 | -10/7]
2. Теперь подставим это значение в третье уравнение:
• [-3/2, 1/2 | 0] - [0, 1, 1/7 | -10/7]
• Теперь у нас будет [0, 0, 1/7 | 10/7]

Теперь мы можем выразить z:

z = 10/7

Теперь подставим значение z в второе уравнение:

y + (1/7)*(10/7) = -10/7

y = -10/7 - 10/49

y = -80/49

Теперь подставим значения y и z в первое уравнение:

2x - (-80/49) + 10/7 = 2

Теперь решаем уравнение для x:

2x + 80/49 + 70/49 = 2

2x = 2 - 150/49

Теперь решим это уравнение и найдем x.

Таким образом, у нас получаются значения:

• x = ?
• y = -80/49
• z = 10/7

Это и есть решение системы уравнений. Важно помнить, что мы можем проверить найденные значения, подставив их обратно в исходные уравнения.