Для решения неравенства -х² + х + 2 > 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Для этого мы можем умножить обе стороны неравенства на -1, но при этом нужно изменить знак неравенства:

Шаг 1: Преобразование неравенства

Умножаем на -1:

х² - х - 2 < 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство х² - х - 2 < 0.

Шаг 2: Решение соответствующего квадратного уравнения

Для начала найдем корни уравнения х² - х - 2 = 0. Используем дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -2.
• D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:

х = ( -b ± √D ) / (2a).

• Первый корень: х₁ = (1 + 3) / 2 = 2.
• Второй корень: х₂ = (1 - 3) / 2 = -1.

Таким образом, корни уравнения х² - х - 2 = 0: х₁ = 2 и х₂ = -1.

Шаг 3: Определение знака многочлена

Теперь мы можем определить, на каких интервалах многочлен х² - х - 2 принимает отрицательные значения. Для этого рассмотрим интервалы, которые образуются корнями:

• (-∞, -1)
• (-1, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак многочлена на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, -1), например, подставим х = -2: (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 (положительно).
• Для интервала (-1, 2), например, подставим х = 0: 0² - 0 - 2 = -2 (отрицательно).
• Для интервала (2, +∞), например, подставим х = 3: (3)² - (3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительно).

Шаг 4: Запись решения

Таким образом, многочлен х² - х - 2 < 0 на интервале (-1, 2).

Не забываем, что в нашем исходном неравенстве мы умножали на -1, что изменило знак неравенства. Поэтому окончательное решение неравенства -х² + х + 2 > 0:

Ответ: (-1, 2)