Для решения данной системы линейных уравнений в матричном виде, мы можем записать её в форме AX = B, где A - это матрица коэффициентов, X - вектор переменных, а B - вектор свободных членов.

Первым шагом мы определим матрицу A, вектор X и вектор B:

• A = [[3, 2, 1], [-1, -1, 2], [4, 3, 1]]
• X = [[x], [y], [z]]
• B = [[5], [1], [5]]

Теперь мы можем использовать метод Крамера для нахождения решения этой системы. Метод Крамера позволяет находить решение системы линейных уравнений с помощью определителей.

Сначала найдем определитель матрицы A (обозначим его |A|):

Для 3x3 матрицы определитель вычисляется по формуле:

|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),

где a, b, c - элементы первой строки, d, e, f - элементы второй строки, g, h, i - элементы третьей строки.

Подставим значения:

• a = 3, b = 2, c = 1
• d = -1, e = -1, f = 2
• g = 4, h = 3, i = 1

Теперь вычислим |A|:

|A| = 3((-1)*1 - 2*3) - 2((-1)*1 - 2*4) + 1((-1)*3 - (-1)*4)

|A| = 3(-1 - 6) - 2(-1 - 8) + 1(-3 + 4)

|A| = 3*(-7) - 2*(-9) + 1*1

|A| = -21 + 18 + 1 = -2

Теперь, когда мы знаем |A|, мы можем найти определители D_x, D_y и D_z, чтобы найти значения x, y и z.

Определитель D_x получается заменой первого столбца матрицы A на вектор B:

D_x = |[[5, 2, 1], [1, -1, 2], [5, 3, 1]]|

Вычислим D_x:

D_x = 5((-1)*1 - 2*3) - 2(1*1 - 2*5) + 1(1*3 - (-1)*5)

D_x = 5(-1 - 6) - 2(1 - 10) + 1(3 + 5)

D_x = 5*(-7) - 2*(-9) + 1*8

D_x = -35 + 18 + 8 = -9

Теперь определитель D_y, заменяем второй столбец матрицы A на вектор B:

D_y = |[[3, 5, 1], [-1, 1, 2], [4, 5, 1]]|

D_y = 3(1*1 - 2*5) - 5(-1*1 - 2*4) + 1(-1*5 - 1*4)

D_y = 3(1 - 10) - 5(-1 - 8) + 1(-5 - 4)

D_y = 3*(-9) - 5*(-9) + 1*(-9)

D_y = -27 + 45 - 9 = 9

Теперь определитель D_z, заменяем третий столбец матрицы A на вектор B:

D_z = |[[3, 2, 5], [-1, -1, 1], [4, 3, 5]]|

D_z = 3((-1)*5 - 1*3) - 2(-1*5 - 1*4) + 5(-1*3 - (-1)*4)

D_z = 3(-5 - 3) - 2(-5 - 4) + 5(-3 + 4)

D_z = 3*(-8) - 2*(-9) + 5*1

D_z = -24 + 18 + 5 = -1

Теперь мы можем найти x, y и z:

• x = D_x / |A| = -9 / -2 = 4.5
• y = D_y / |A| = 9 / -2 = -4.5
• z = D_z / |A| = -1 / -2 = 0.5

Таким образом, мы получили решение системы:

• x = 4.5
• y = -4.5
• z = 0.5

Теперь давайте проверим, удовлетворяют ли эти значения исходной системе уравнений:

• 3(4.5) + 2(-4.5) + 0.5 = 13.5 - 9 + 0.5 = 5 (верно)
• -4.5 - (-4.5) + 2(0.5) = -4.5 + 4.5 + 1 = 1 (верно)
• 4(4.5) + 3(-4.5) + 0.5 = 18 - 13.5 + 0.5 = 5 (верно)

Все уравнения выполнены, следовательно, решение системы верно:

• x = 4.5
• y = -4.5
• z = 0.5