Сколько натуральных чисел n существует таких, что n умноженное на 1000 минус n является квадратом целого числа?

Математика 11 класс Квадратные уравнения натуральные числа квадрат целого числа уравнение математика 11 класса решение задачи множитель свойства квадратов Новый

Рассмотрим условие задачи: нам нужно найти такие натуральные числа n, для которых выражение n * 1000 - n является квадратом целого числа. Сначала упростим это выражение:

n * 1000 - n = n * (1000 - 1) = n * 999.

Таким образом, мы ищем такие n, для которых n * 999 = k^2, где k - целое число. Это означает, что n должно быть равно k^2 / 999. Чтобы n было натуральным числом, k^2 должно делиться на 999.

Теперь давайте разложим число 999 на простые множители:

• 999 = 3^3 * 37.

Теперь нам нужно найти, сколько различных квадратов k^2 могут делиться на 999. Для этого мы должны убедиться, что в разложении k^2 присутствуют все простые множители 999 с четными степенями.

Пусть k имеет вид:

k = 3^a * 37^b,

где a и b - неотрицательные целые числа. Тогда:

k^2 = 3^(2a) * 37^(2b).

Теперь, чтобы k^2 делилось на 999, должно выполняться следующее:

• 2a >= 3 (так как 999 имеет 3^3),
• 2b >= 1 (так как 999 имеет 37^1).

Теперь решим эти неравенства:

1. Из 2a >= 3 следует, что a >= 2 (так как a - целое число).
2. Из 2b >= 1 следует, что b >= 1/2, что означает, что b >= 1 (так как b - целое число).

Таким образом, возможные значения для a и b:

• a может принимать значения 2, 3, 4 и так далее (все целые числа, начиная с 2);
• b может принимать значение 1 и больше (все целые числа, начиная с 1).

Теперь найдем, сколько различных натуральных n может быть. Мы можем выразить n как:

n = (3^a * 37^b) * 999 / 999 = 3^a * 37^b.

Теперь мы можем комбинировать значения a и b:

• a может принимать значения 2, 3, 4 и так далее, что дает бесконечное количество вариантов;
• b может принимать значения 1, 2, 3 и так далее, что также дает бесконечное количество вариантов.

Таким образом, мы можем заключить, что существует бесконечно много натуральных чисел n, таких что n * 1000 - n является квадратом целого числа.

Ответ: бесконечно много натуральных чисел n.