Для решения этой задачи давайте разберем все шаги по порядку.

Шаг 1: Определим необходимые элементы окружности.

• Пусть радиус окружности равен R.
• Точки M и N - середины радиусов OA и OB соответственно.
• Точки E и F лежат на окружности, и хорда EF проходит через точки M и N.

Шаг 2: Найдем длину хорды MN.

Поскольку M и N - середины радиусов, то длина отрезка MN равна половине длины хорды EF. Это можно выразить так:

• MN = R * sin(угол),где угол - это угол между радиусами OA и OB, который проходит через центр O.

Однако, для нахождения длины MN, мы можем использовать свойство, что MN будет равен R/2, если угол между радиусами OA и OB равен 90 градусам (в данном случае это не обязательно, но для понимания отношения удобно использовать эту формулу).

Шаг 3: Используем данное отношение EF: MN = 8.

Из условия задачи мы знаем, что:

EF = 8 * MN.

Шаг 4: Найдем отношение радиуса окружности к длине хорды EF.

Теперь мы можем выразить радиус R через длину хорды EF:

• Пусть длина MN = x, тогда EF = 8x.
• Таким образом, R будет равно 2x (при условии, что угол между OA и OB равен 90 градусам).

Теперь можем записать отношение радиуса к длине хорды:

R / EF = (2x) / (8x) = 1 / 4.

Шаг 5: Найдем квадрат этого отношения.

Квадрат отношения будет равен:

(1 / 4)² = 1 / 16.

Ответ: Квадрат отношения радиуса окружности к длине хорды EF равен 1/16.