В окружности радиусом 1 см проведена хорда длиной √3 см. Какова площадь наименьшего сектора, который образован этой хордой?

Математика 11 класс Геометрия окружности площадь сектора хорда в окружности радиус 1 см длина хорды √3 см задачи по математике 11 класс Новый

Чтобы найти площадь наименьшего сектора, образованного хордой в окружности радиусом 1 см, следуем следующим шагам:

1. Находим угол, соответствующий хорде. Для этого воспользуемся свойством треугольника, который образуется радиусами и хордой. У нас есть равнобедренный треугольник, где два стороны равны радиусу окружности (1 см), а основание – это хорда (√3 см).
2. Применяем теорему косинусов. В равнобедренном треугольнике, где a – радиус (1 см), b – радиус (1 см), и c – длина хорды (√3 см), теорема косинусов выглядит так:
   • c² = a² + b² - 2ab * cos(θ),
   • где θ – угол между радиусами, проведенными к концам хорды.

   Подставляем значения:

   (√3)² = 1² + 1² - 2 * 1 * 1 * cos(θ)

   3 = 1 + 1 - 2 * cos(θ)

   3 = 2 - 2 * cos(θ)

   2 * cos(θ) = 2 - 3 = -1

   cos(θ) = -1/2.

3. Находим угол θ. Угол, для которого косинус равен -1/2, равен 120 градусам (или 2π/3 радиан).
4. Находим площадь сектора. Площадь сектора окружности вычисляется по формуле:

   Площадь = (θ / 2π) * S,

   где S – площадь всей окружности. Площадь окружности радиусом 1 см равна π * r² = π * 1² = π.

   Подставляем угол в радианах:

   Площадь сектора = (2π/3) / (2π) * π = (1/3) * π.

5. Находим площадь треугольника, образованного радиусами и хордой. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:

   Площадь = (1/2) * a * b * sin(θ),

   где a и b – стороны треугольника (радиусы), а θ – угол между ними.

   Подставляем значения:

   Площадь = (1/2) * 1 * 1 * sin(120°) = (1/2) * sin(120°).

   sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2.

   Таким образом, площадь треугольника = (1/2) * (√3/2) = √3/4.

6. Находим площадь сектора, вычитая площадь треугольника. Площадь наименьшего сектора равна:

   Площадь сектора - Площадь треугольника = (1/3) * π - (√3/4).

Таким образом, площадь наименьшего сектора, образованного хордой длиной √3 см в окружности радиусом 1 см, равна (1/3) * π - (√3/4) см².