У нас есть треугольная пирамида DABC с вершинами A(2; 7; 9), B(3; 4; 9), C(3; 10; 10) и D(4; 5; 8). Как можно найти:

1. угол ∠DAC;
2. площадь грани ABC;
3. объем пирамиды.

Это очень срочно!

Математика 11 класс Геометрия в пространстве угол DAC площадь грани ABC объём пирамиды треугольная пирамида координаты вершин математические задачи геометрия 11 класс решение задач объем и площадь Новый

Чтобы решить поставленные задачи, давайте рассмотрим каждую из них по отдельности.

1. Нахождение угла ∠DAC:

Для нахождения угла между двумя векторами, нам нужно сначала определить векторы DA и AC.

• Вектор DA = A - D = (2 - 4, 7 - 5, 9 - 8) = (-2, 2, 1)
• Вектор AC = C - A = (3 - 2, 10 - 7, 10 - 9) = (1, 3, 1)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(∠DAC) = (DA * AC) / (|DA| * |AC|),

где DA * AC - скалярное произведение векторов, а |DA| и |AC| - их длины.

• Скалярное произведение: DA * AC = (-2)*1 + 2*3 + 1*1 = -2 + 6 + 1 = 5.
• Длина вектора DA: |DA| = sqrt((-2)² + 2² + 1²) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3.
• Длина вектора AC: |AC| = sqrt(1² + 3² + 1²) = sqrt(1 + 9 + 1) = sqrt(11).

Теперь можем найти cos(∠DAC):

cos(∠DAC) = 5 / (3 * sqrt(11)).

Чтобы найти угол, используем арккосинус:

∠DAC = arccos(5 / (3 * sqrt(11))).

2. Нахождение площади грани ABC:

Площадь треугольника можно найти, используя векторы AB и AC.

• Вектор AB = B - A = (3 - 2, 4 - 7, 9 - 9) = (1, -3, 0).
• Вектор AC = C - A = (3 - 2, 10 - 7, 10 - 9) = (1, 3, 1).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

AB x AC = |i j k|

|1 -3 0|

|1 3 1|

Вычисляем детерминант:

• i(0*1 - (-3)*1) - j(1*1 - 0*1) + k(1*3 - (-3)*1) = i(0 + 3) - j(1 - 0) + k(3 + 3).
• Получаем: (3, -1, 6).

Теперь находим длину векторного произведения:

|AB x AC| = sqrt(3² + (-1)² + 6²) = sqrt(9 + 1 + 36) = sqrt(46).

Площадь треугольника ABC равна половине длины векторного произведения:

Площадь = 0.5 * |AB x AC| = 0.5 * sqrt(46).

3. Нахождение объема пирамиды:

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания (грани ABC), h - высота пирамиды, проведенная из вершины D на плоскость ABC.

Чтобы найти высоту h, нам нужно определить расстояние от точки D до плоскости ABC. Для этого найдем уравнение плоскости ABC.

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, который мы можем взять равным векторному произведению AB x AC.

• Нормальный вектор = (3, -1, 6).

Теперь подставим координаты точки A в уравнение плоскости для нахождения D:

3*2 - 1*7 + 6*9 + D = 0.

6 - 7 + 54 + D = 0.

D = -53.

Таким образом, уравнение плоскости будет:

3x - y + 6z - 53 = 0.

Теперь найдем расстояние от точки D до плоскости:

h = |3*4 - 1*5 + 6*8 - 53| / sqrt(3² + (-1)² + 6²).

Подставляем значения:

h = |12 - 5 + 48 - 53| / sqrt(46) = |2| / sqrt(46) = 2 / sqrt(46).

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * (0.5 * sqrt(46)) * (2 / sqrt(46)) = (1/3) * (1) = 1/3.

Таким образом, мы нашли угол ∠DAC, площадь грани ABC и объем пирамиды.