В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей, а в пятницу 53 рубля. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем...
В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 28 рублей, а в пятницу 53 рубля. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличилось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество награждённых в четверг как X, а в пятницу как Y. Мы знаем, что:
1. Цена приза в четверг - 28 рублей.
2. Цена приза в пятницу - 53 рубля.
3. Суммарные затраты на призы в пятницу выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей.
4. Разница в количестве награждённых не превышает 2, то есть |X - Y| ≤ 2.
Теперь запишем уравнения для суммарных затрат:
- Затраты в четверг: 28 * X
- Затраты в пятницу: 53 * Y
По условию задачи, затраты в пятницу больше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей:
53 * Y - 28 * X ≥ 1000.
Теперь давайте выразим Y через X, учитывая ограничение на разницу в количестве награждённых. Мы можем рассмотреть два случая:
1. Y = X + 2
2. Y = X + 1
3. Y = X - 1
4. Y = X - 2
Начнём с первого случая:
**Случай 1: Y = X + 2**
Подставим это в неравенство:
53 * (X + 2) - 28 * X ≥ 1000.
Раскроем скобки:
53X + 106 - 28X ≥ 1000.
Соберём подобные члены:
25X + 106 ≥ 1000.
Теперь вычтем 106 из обеих сторон:
25X ≥ 894.
Разделим обе стороны на 25:
X ≥ 35.76.
Так как X должно быть целым числом, то X ≥ 36.
**Случай 2: Y = X + 1**
Подставим:
53 * (X + 1) - 28 * X ≥ 1000.
Раскроем скобки:
53X + 53 - 28X ≥ 1000.
Соберём подобные члены:
25X + 53 ≥ 1000.
Вычтем 53 из обеих сторон:
25X ≥ 947.
Разделим на 25:
X ≥ 37.88.
Значит, X ≥ 38.
**Случай 3: Y = X - 1**
Подставим:
53 * (X - 1) - 28 * X ≥ 1000.
Раскроем скобки:
53X - 53 - 28X ≥ 1000.
Соберём подобные члены:
25X - 53 ≥ 1000.
Вычтем -53 из обеих сторон:
25X ≥ 1053.
Разделим на 25:
X ≥ 42.12.
Значит, X ≥ 43.
**Случай 4: Y = X - 2**
Подставим:
53 * (X - 2) - 28 * X ≥ 1000.
Раскроем скобки:
53X - 106 - 28X ≥ 1000.
Соберём подобные члены:
25X - 106 ≥ 1000.
Вычтем -106 из обеих сторон:
25X ≥ 1106.
Разделим на 25:
X ≥ 44.24.
Значит, X ≥ 45.
Теперь у нас есть все случаи:
- Из первого случая: X ≥ 36.
- Из второго случая: X ≥ 38.
- Из третьего случая: X ≥ 43.
- Из четвёртого случая: X ≥ 45.
Наименьшее значение X, которое удовлетворяет всем условиям, это 36. Таким образом, наименьшее число награждённых в четверг могло быть 36.
Ответ: 36.
