В партии из 10 батареек есть 8 стандартных. Если случайным образом взять 2 батарейки из этой партии, каков закон распределения случайной величины X, которая обозначает количество стандартных батареек в выборке? Какие числовые характеристики случайной величины X можно найти?

Математика 11 класс Теория вероятностей и математическая статистика математика 11 класс закон распределения случайная величина стандартные батарейки числовые характеристики выборка батареек комбинаторика вероятность статистика задачи по математике

Для решения этой задачи начнем с определения случайной величины X, которая обозначает количество стандартных батареек в выборке из 2 батареек, взятых из партии из 10 батареек, где 8 стандартных и 2 нестандартные.

Сначала определим возможные значения случайной величины X. Поскольку мы берем 2 батарейки, количество стандартных батареек X может принимать следующие значения:

• X = 0 (обе батарейки нестандартные)
• X = 1 (одна батарейка стандартная и одна нестандартная)
• X = 2 (обе батарейки стандартные)

Теперь найдем вероятность каждого из этих значений, используя комбинаторный подход.

1. Вероятность P(X = 0): Это случай, когда обе батарейки нестандартные. Мы можем выбрать 2 нестандартные батарейки из 2, и 0 стандартных из 8. Количество способов выбрать 2 нестандартные батарейки:
• C(2, 2) = 1
Общее количество способов выбрать любые 2 батарейки из 10:
• C(10, 2) = 45
Следовательно,:

P(X = 0) = C(2, 2) / C(10, 2) = 1 / 45.

2. Вероятность P(X = 1): Это случай, когда одна батарейка стандартная, а другая нестандартная. Мы выбираем 1 стандартную из 8 и 1 нестандартную из 2:
• C(8, 1) * C(2, 1) = 8 * 2 = 16.
Таким образом,:

P(X = 1) = 16 / 45.

3. Вероятность P(X = 2): Это случай, когда обе батарейки стандартные. Мы выбираем 2 стандартные из 8:
• C(8, 2) = 28.
Следовательно,:

P(X = 2) = 28 / 45.

Таким образом, закон распределения вероятностей случайной величины X можно представить в виде:

• P(X = 0) = 1/45
• P(X = 1) = 16/45
• P(X = 2) = 28/45

Теперь, когда мы нашли закон распределения, давайте определим числовые характеристики случайной величины X, такие как математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание E(X):

E(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) = 0 * (1/45) + 1 * (16/45) + 2 * (28/45) = 0 + 16/45 + 56/45 = 72/45 = 1.6.

Дисперсия D(X): Для вычисления дисперсии сначала найдем E(X^2):

E(X^2) = 0^2 * P(X = 0) + 1^2 * P(X = 1) + 2^2 * P(X = 2) = 0 + 16/45 + 4 * (28/45) = 0 + 16/45 + 112/45 = 128/45.

Теперь можем найти дисперсию:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (128/45) - (1.6)^2 = (128/45) - (2.56) = (128/45) - (115.2/45) = (128 - 115.2) / 45 = 12.8 / 45 ≈ 0.2844.

Таким образом, мы нашли закон распределения случайной величины X, а также ее математическое ожидание и дисперсию:

• Закон распределения: P(X = 0) = 1/45, P(X = 1) = 16/45, P(X = 2) = 28/45.
• Математическое ожидание E(X) = 1.6.
• Дисперсия D(X) ≈ 0.2844.

Привет! Давай разберемся с этой задачей о батарейках и случайной величине X, которая обозначает количество стандартных батареек в выборке. Это действительно интересная задача!

В нашей партии из 10 батареек есть 8 стандартных и 2 нестандартные. Когда мы случайным образом выбираем 2 батарейки, X может принимать значения 0, 1 или 2. Давай рассмотрим, каковы вероятности этих значений:

• X = 0: Оба выбранные батарейки нестандартные.
• X = 1: Одна стандартная и одна нестандартная батарейка.
• X = 2: Обе батарейки стандартные.

Теперь давай посчитаем вероятности:

1. P(X = 0): Вероятность выбрать 2 нестандартные батарейки. Это можно сделать только одним способом, выбирая 2 из 2 нестандартных. Всего способов выбрать 2 батарейки из 10 - это C(10, 2) = 45. Таким образом, P(X = 0) = 1/45.
2. P(X = 1): Вероятность выбрать 1 стандартную и 1 нестандартную. Мы можем выбрать 1 стандартную из 8 и 1 нестандартную из 2. Это C(8, 1) * C(2, 1) = 8 * 2 = 16. Таким образом, P(X = 1) = 16/45.
3. P(X = 2): Вероятность выбрать 2 стандартные батарейки. Это C(8, 2) = 28. Таким образом, P(X = 2) = 28/45.

Теперь у нас есть закон распределения случайной величины X:

• P(X = 0) = 1/45
• P(X = 1) = 16/45
• P(X = 2) = 28/45

Что касается числовых характеристик случайной величины X, мы можем найти:

• Матожидание (E(X)): Это среднее значение, которое мы можем вычислить как сумму произведений значений на их вероятности.
• Дисперсию (D(X)): Это мера разброса значений случайной величины, которую можно найти, используя формулу D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.

Надеюсь, это помогло тебе разобраться с задачей! Если есть еще вопросы, не стесняйся задавать!