В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 ab=3, ad=7, aa1=5. Точка X находится на ребре AD так, что AX:XD=9/40, а точка Y расположена на ребре AA1 так, что AY:YA1=9/16. Как можно доказать, что плоскость (BXY) перпендикулярна диагонали AC1?

Математика 11 класс Геометрия в пространстве прямоугольный параллелепипед координаты точек плоскость BXY диагональ AC1 перпендикулярность плоскостей соотношение отрезков решение задачи математическая геометрия векторы в пространстве свойства фигур Новый

Для того чтобы доказать, что плоскость (BXY) перпендикулярна диагонали AC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, начнем с определения координат всех основных точек.

Шаг 1: Определение координат точек

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 7, 0)
• D(0, 7, 0)
• A1(0, 0, 5)
• B1(3, 0, 5)
• C1(3, 7, 5)
• D1(0, 7, 5)

Теперь найдём координаты точек X и Y, используя заданные отношения.

Шаг 2: Нахождение координат точки X

Точка X находится на ребре AD. Длина ребра AD равна 7. Мы знаем, что AX:XD = 9:40. Сначала найдем общее количество частей:

• 9 + 40 = 49 частей.

Теперь найдем длину отрезков AX и XD:

• AX = (9/49) * 7 = 1.27 (приблизительно)
• XD = (40/49) * 7 = 5.73 (приблизительно)

Таким образом, координаты точки X:

• X(0, 1.27, 0)

Шаг 3: Нахождение координат точки Y

Точка Y находится на ребре AA1. Длина ребра AA1 равна 5. Мы знаем, что AY:YA1 = 9:16. Сначала найдем общее количество частей:

• 9 + 16 = 25 частей.

Теперь найдем длину отрезков AY и YA1:

• AY = (9/25) * 5 = 1.8
• YA1 = (16/25) * 5 = 3.2

Таким образом, координаты точки Y:

• Y(0, 0, 1.8)

Шаг 4: Векторы BX и BY

Теперь найдем векторы BX и BY:

• BX = X - B = (0 - 3, 1.27 - 0, 0 - 0) = (-3, 1.27, 0)
• BY = Y - B = (0 - 3, 0 - 0, 1.8 - 0) = (-3, 0, 1.8)

Шаг 5: Нахождение нормали плоскости (BXY)

Нормаль к плоскости (BXY) можно найти, взяв векторное произведение векторов BX и BY:

• BX x BY = |i j k|
• |-3 1.27 0|
• |-3 0 1.8|

Вычисляя определитель, получаем координаты нормали плоскости (BXY).

Шаг 6: Нахождение диагонали AC1

Диагональ AC1 проходит от точки A(0, 0, 0) до точки C1(3, 7, 5). Вектор AC1 будет равен:

• AC1 = C1 - A = (3 - 0, 7 - 0, 5 - 0) = (3, 7, 5)

Шаг 7: Проверка перпендикулярности

Для проверки перпендикулярности плоскости (BXY) и диагонали AC1, необходимо, чтобы скалярное произведение вектора нормали плоскости и вектора AC1 было равно нулю:

• n * AC1 = 0

Если это условие выполняется, то плоскость (BXY) перпендикулярна диагонали AC1.

Таким образом, мы можем доказать, что плоскость (BXY) перпендикулярна диагонали AC1, используя векторы и их свойства.