В треугольнике АВС даны координаты вершин: А(-4; -3; -6), В(-1; 7; -3), а также вектор AC={7;2;13}. Нужно определить: а) длину высоты, проведенной на сторону AC, б) косинус угла между медианой AM и стороной BC.

Математика 11 класс Геометрия в пространстве треугольник ABC координаты вершин вектор AC высота треугольника длина высоты косинус угла медиана AM сторона BC Новый

Давайте решим задачу поэтапно.

а) Длина высоты, проведенной на сторону AC:

Для начала нам нужно найти координаты точки C, зная вектор AC. Вектор AC можно выразить через координаты точки A и C:

• Координаты точки C: C = A + AC.

Подставим значения:

• A(-4; -3; -6)
• AC(7; 2; 13)

Теперь вычислим координаты точки C:

• C = (-4 + 7; -3 + 2; -6 + 13) = (3; -1; 7).

Теперь у нас есть все три точки: A, B и C. Далее найдем длину стороны AC:

• Длина AC = √((xC - xA)² + (yC - yA)² + (zC - zA)²).

Подставим координаты:

• AC = √((3 - (-4))² + ((-1) - (-3))² + (7 - (-6))²)
• AC = √((3 + 4)² + (2)² + (13)²)
• AC = √(7² + 2² + 13²) = √(49 + 4 + 169) = √222.

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу через векторное произведение:

• Площадь S = 0.5 * |AB x AC|.

Сначала найдем вектор AB:

• AB = B - A = (-1; 7; -3) - (-4; -3; -6) = (3; 10; 3).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

• AB x AC = |i j k|
• |3 10 3|
• |7 2 13|

Вычисляем определитель:

• i(10*13 - 3*2) - j(3*13 - 3*7) + k(3*2 - 10*7)
• i(130 - 6) - j(39 - 21) + k(6 - 70)
• i(124) - j(18) - k(64).

Теперь найдем модуль векторного произведения:

• |AB x AC| = √(124² + 18² + 64²) = √(15376 + 324 + 4096) = √19796.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

• S = 0.5 * √19796.

Далее, длина высоты h, проведенной из точки B на сторону AC, равна:

• h = 2S / AC.

Теперь подставим значения и найдем h.

б) Косинус угла между медианой AM и стороной BC:

Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка BC:

• M = ((xB + xC)/2; (yB + yC)/2; (zB + zC)/2).

Подставим координаты B и C:

• M = ((-1 + 3)/2; (7 - 1)/2; (-3 + 7)/2) = (1; 3; 2).

Теперь найдем вектор AM:

• AM = M - A = (1 - (-4); 3 - (-3); 2 - (-6)) = (5; 6; 8).

Теперь найдем вектор BC:

• BC = C - B = (3 - (-1); -1 - 7; 7 - (-3)) = (4; -8; 10).

Теперь найдем косинус угла между векторами AM и BC, используя формулу:

• cos(θ) = (AM • BC) / (|AM| * |BC|).

Сначала найдем скалярное произведение:

• AM • BC = (5 * 4) + (6 * -8) + (8 * 10) = 20 - 48 + 80 = 52.

Теперь найдем модули векторов AM и BC:

• |AM| = √(5² + 6² + 8²) = √(25 + 36 + 64) = √125.
• |BC| = √(4² + (-8)² + 10²) = √(16 + 64 + 100) = √180.

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

• cos(θ) = 52 / (√125 * √180).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения: длину высоты и косинус угла между медианой и стороной BC. Если у вас есть вопросы или что-то неясно, задавайте!