Для решения данного уравнения начнем с анализа левой части: |sin(8x) - a| + |sin(8x) + a|. Это выражение можно упростить, учитывая возможные случаи, в зависимости от значений a и sin(8x).

Рассмотрим два случая:

1. Если sin(8x) >= a, тогда |sin(8x) - a| = sin(8x) - a и |sin(8x) + a| = sin(8x) + a. Таким образом, уравнение примет вид: 2sin(8x) = a²/9 - x⁴ + 2a.
2. Если sin(8x) < -a, тогда |sin(8x) - a| = -sin(8x) + a и |sin(8x) + a| = -sin(8x) - a. Уравнение будет: -2sin(8x) = a²/9 - x⁴ - 2a.
3. Если -a <= sin(8x) < a, тогда |sin(8x) - a| = a - sin(8x) и |sin(8x) + a| = sin(8x) + a. Уравнение станет: 2a = a²/9 - x⁴.

Теперь найдем количество решений для каждого случая.

1. В первом случае, у нас есть уравнение 2sin(8x) = a²/9 - x⁴ + 2a. Поскольку sin(8x) принимает значения от -1 до 1, это уравнение будет иметь решения, если a²/9 - x⁴ + 2a находится в пределах [-2, 2]. Таким образом, мы получаем два условия:

• -2 <= a²/9 - x⁴ + 2a <= 2.

2. Во втором случае, уравнение -2sin(8x) = a²/9 - x⁴ - 2a также будет иметь решения при условии, что a²/9 - x⁴ - 2a находится в пределах [-2, 2].

3. В третьем случае, у нас есть уравнение 2a = a²/9 - x⁴. Это уравнение имеет два решения, если x⁴ может принимать значения, при которых a²/9 - 2a >= 0. То есть, a² - 18a >= 0, что дает a(a - 18) >= 0. Таким образом, a <= 0 или a >= 18.

Теперь нам нужно найти такие значения a, при которых общее количество решений будет нечётным. Это произойдет, если:

• В первом случае будет 1 решение, а во втором - 0 решений.
• В первом случае будет 0 решений, а во втором - 1 решение.

Таким образом, мы можем проанализировать границы для a:

• Если a < 0, то у нас 0 решений в первом случае и 1 решение во втором.
• Если a = 0, то у нас 1 решение в первом случае и 1 решение во втором.
• Если 0 < a < 18, то у нас 1 решение в первом случае и 0 решений во втором.
• Если a = 18, то 1 решение в первом и 0 во втором.
• Если a > 18, то у нас 0 решений в первом и 1 решение во втором.

Таким образом, значения a, при которых уравнение имеет нечётное количество решений, это a < 0 и 0 < a < 18. Сумма квадратов всех найденных значений a:

Так как решений бесконечно много (все a < 0 и все 0 < a < 18), ответ будет -1.

Ответ: -1