Для начала давайте разберемся с числом A, которое представлено в виде:

A = (5! × 6! × 7! × 8!) ÷ (9! × 2025).

Первым шагом будет вычисление факториалов и их разложение на простые множители.

• 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 = 2^3 × 3^1 × 5^1
• 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 = 2^4 × 3^2 × 5^1
• 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040 = 2^4 × 3^2 × 5^1 × 7^1
• 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320 = 2^7 × 3^2 × 5^1 × 7^1

Теперь давайте найдем произведение 5!, 6!, 7! и 8!:

5! × 6! × 7! × 8! = (2^3 × 3^1 × 5^1) × (2^4 × 3^2 × 5^1) × (2^4 × 3^2 × 5^1 × 7^1) × (2^7 × 3^2 × 5^1 × 7^1).

Теперь сложим степени простых множителей:

• 2: 3 + 4 + 4 + 7 = 18
• 3: 1 + 2 + 2 + 2 = 7
• 5: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• 7: 0 + 0 + 1 + 1 = 2

Таким образом, произведение 5! × 6! × 7! × 8! = 2^18 × 3^7 × 5^4 × 7^2.

• 9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362880 = 2^7 × 3^4 × 5^1 × 7^1
• 2025 = 45 × 45 = (3^2 × 5)^2 = 3^4 × 5^2

Теперь подставим все в формулу для A:

A = (2^18 × 3^7 × 5^4 × 7^2) ÷ (2^7 × 3^4 × 5^1 × 7^1 × 3^4 × 5^2).

Упростим A:

• 2: 18 - 7 = 11
• 3: 7 - (4 + 4) = -1 (т.е. 3^0)
• 5: 4 - (1 + 2) = 1
• 7: 2 - 1 = 1

Таким образом, A = 2^11 × 3^0 × 5^1 × 7^1 = 2^11 × 5^1 × 7^1.

Количество делителей числа N = p1^e1 × p2^e2 × ... × pk^ek можно найти по формуле:

(e1 + 1)(e2 + 1)...(ek + 1).

Для A = 2^11 × 5^1 × 7^1 количество делителей будет:

(11 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 × 2 × 2 = 48.

Полные квадраты имеют четные степени простых множителей. Для A:

• 2: 11 (нечетное)
• 5: 1 (нечетное)
• 7: 1 (нечетное)

Таким образом, полных квадратов нет, т.е. их количество = 0.

Количество натуральных делителей, которые не являются полными квадратами, равно:

Количество всех делителей - Количество полных квадратов = 48 - 0 = 48.

Таким образом, ответ на вопрос: количество натуральных делителей числа A, которые не являются полными квадратами, равно 48.