Для того чтобы найти угол между плоскостями (АВ1С1) и (АВС) в кубе ABCDA1B1C1D1, нам необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим координаты вершин куба:
   • A(0, 0, 0)
   • B(1, 0, 0)
   • C(1, 1, 0)
   • D(0, 1, 0)
   • A1(0, 0, 1)
   • B1(1, 0, 1)
   • C1(1, 1, 1)
   • D1(0, 1, 1)
2. Найдем нормали к плоскостям:
   • Для плоскости (АВС):
     • Векторы AB и AC:
       • AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
       • AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)
     • Нормаль N1 к плоскости (АВС) = AB x AC = (1, 0, 0) x (1, 1, 0) = (0, 0, 1)
   • Для плоскости (АВ1С1):
     • Векторы AB и AC1:
       • AB = (1, 0, 0)
       • AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)
     • Нормаль N2 к плоскости (АВ1С1) = AB x AC1 = (1, 0, 0) x (1, 1, 1) = (0, -1, 1)
3. Найдем угол между нормалями:
   • Используем формулу для нахождения угла между векторами:
     • cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|)
     • Где N1 = (0, 0, 1) и N2 = (0, -1, 1).
   • Находим скалярное произведение N1 и N2:
     • N1 • N2 = (0 * 0) + (0 * -1) + (1 * 1) = 1
   • Находим длины нормалей:
     • |N1| = √(0² + 0² + 1²) = 1
     • |N2| = √(0² + (-1)² + 1²) = √2
   • Теперь подставим значения в формулу:
     • cos(θ) = 1 / (1 * √2) = 1 / √2
   • Следовательно, угол θ = 45°.

Ответ: Угол между плоскостями (АВ1С1) и (АВС) равен 45°.