Для решения этой задачи начнем с анализа остатков при делении на 3, 6 и 9.

Обозначим натуральное число как x. Остатки при делении на 3, 6 и 9 обозначим как:

• r1 = x mod 3
• r2 = x mod 6
• r3 = x mod 9

Согласно условию задачи, сумма остатков равна 15:

Теперь рассмотрим возможные значения остатков:

• r1 (остаток от деления на 3) может быть 0, 1 или 2.
• r2 (остаток от деления на 6) может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5.
• r3 (остаток от деления на 9) может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

Теперь найдем все возможные комбинации остатков, которые в сумме дают 15. Однако, заметим, что максимальные значения остатков:

• r1 может быть максимум 2,
• r2 может быть максимум 5,
• r3 может быть максимум 8.

Таким образом, максимальная сумма остатков: 2 + 5 + 8 = 15. Это возможно только в случае:

• r1 = 2,
• r2 = 5,
• r3 = 8.

Теперь найдем число x, которое соответствует этим остаткам:

• При r1 = 2: x = 3k + 2, где k - целое число.
• При r2 = 5: x = 6m + 5, где m - целое число.
• При r3 = 8: x = 9n + 8, где n - целое число.

Теперь мы можем выразить x через каждое из условий и найти общее решение. Рассмотрим первое и второе условия:

Из первого условия: x = 3k + 2

Подставим это во второе условие:

Упростим это уравнение:

Теперь подставим k в первое уравнение:

Теперь подставим x в третье уравнение:

Упростим:

Теперь выразим m через n:

Для m быть целым, выражение (3n + 1) должно быть четным, что означает, что n должно быть нечетным. Пусть n = 2p + 1, где p - целое число. Подставим это обратно:

Теперь найдем x:

Теперь мы можем найти остаток при делении на 18:

Таким образом, остаток при делении числа x на 18 равен 17.