Какой остаток получается при делении куба нечетного натурального числа на 4? Выберите правильный ответ:

• А) 1
• Б) 2
• С) 1 или 3
• Д) 3

Пожалуйста, объясните свой выбор.

Математика 11 класс Остатки от деления Новый

Чтобы выяснить, какой остаток получается при делении куба нечетного натурального числа на 4, давайте сначала рассмотрим, как выглядит нечетное натуральное число.

Нечетное натуральное число можно представить в общем виде как:

• n = 2k + 1, где k - это любое целое число (0, 1, 2, ...).

Теперь давайте найдем куб этого нечетного числа:

• n^3 = (2k + 1)^3.

Раскроем скобки:

• (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1.

Теперь важно понять, как мы можем определить остаток от деления этого выражения на 4. Для этого рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

• 8k^3 при делении на 4 дает остаток 0 (так как 8 делится на 4).
• 12k^2 при делении на 4 также дает остаток 0 (так как 12 делится на 4).
• 6k при делении на 4 дает остаток 2, если k нечетное, и остаток 0, если k четное.
• 1 всегда дает остаток 1 при делении на 4.

Теперь объединим все слагаемые:

• Если k четное, то 6k дает остаток 0, и мы получаем 0 + 0 + 0 + 1 = 1.
• Если k нечетное, то 6k дает остаток 2, и мы получаем 0 + 0 + 2 + 1 = 3.

Таким образом, в зависимости от значения k, остаток при делении куба нечетного натурального числа на 4 может быть либо 1, либо 3.

Следовательно, правильный ответ:

С) 1 или 3