Чтобы найти остаток при делении числа abc на 9, давайте сначала разберемся с условием задачи, а именно с равенством abc + cab + bca = 2dd2.

1. Определим, что такое abc, cab и bca. Это трехзначные числа, где:

• abc = 100a + 10b + c
• cab = 100c + 10a + b
• bca = 100b + 10c + a

2. Сложим эти три числа:

• abc + cab + bca = (100a + 10b + c) + (100c + 10a + b) + (100b + 10c + a)
• = 111a + 111b + 111c
• = 111(a + b + c)

3. Теперь выразим правую часть уравнения.

• 2dd2 = 2000 + 100d + 10d + 2 = 2000 + 110d + 2 = 2002 + 110d

4. Теперь у нас есть уравнение:

111(a + b + c) = 2002 + 110d

5. Теперь найдем остаток при делении на 9. Заметим, что:

• 111 ≡ 3 (mod 9)
• 2002 ≡ 4 (mod 9)
• 110 ≡ 2 (mod 9)

6. Таким образом, уравнение по модулю 9 будет выглядеть так:

3(a + b + c) ≡ 4 + 2d (mod 9)

7. Теперь выразим a + b + c:

• 3(a + b + c) ≡ 4 + 2d (mod 9)
• => a + b + c ≡ (4 + 2d)/3 (mod 9)

8. Теперь, чтобы найти остаток от abc при делении на 9, нам нужно знать сумму a + b + c. Остаток при делении abc на 9 равен остатку от суммы его цифр a + b + c при делении на 9.

Таким образом, остаток при делении abc на 9 равен (4 + 2d)/3 (mod 9), где d – это последняя цифра числа 2dd2. Чтобы получить конкретный остаток, нужно знать значение d.

В зависимости от значения d, вы сможете подставить его в формулу и найти остаток при делении abc на 9.