Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно вычислить выражение: (7 2/3) : (1 3/4 - 1/6) * (1 1/5 + 2 2/3 + 1/6).

• 7 2/3 = 7 * 3 + 2 = 21 + 2 = 23/3
• 1 3/4 = 1 * 4 + 3 = 4 + 3 = 7/4
• 1 1/5 = 1 * 5 + 1 = 5 + 1 = 6/5
• 2 2/3 = 2 * 3 + 2 = 6 + 2 = 20/3

Теперь у нас есть:

• (23/3) : (7/4 - 1/6)
• (6/5 + 20/3 + 1/6)

Сначала найдём (7/4 - 1/6):

• Нам нужно найти общий знаменатель для 4 и 6. Общий знаменатель - 12.
• 7/4 = (7 * 3)/(4 * 3) = 21/12
• 1/6 = (1 * 2)/(6 * 2) = 2/12
• Теперь вычтем: 21/12 - 2/12 = 19/12.

Теперь вычислим (6/5 + 20/3 + 1/6):

• Найдём общий знаменатель для 5, 3 и 6. Общий знаменатель - 30.
• 6/5 = (6 * 6)/(5 * 6) = 36/30
• 20/3 = (20 * 10)/(3 * 10) = 200/30
• 1/6 = (1 * 5)/(6 * 5) = 5/30
• Теперь сложим: 36/30 + 200/30 + 5/30 = 241/30.

Теперь у нас есть:

(23/3) : (19/12) * (241/30).

Для деления дробей умножаем на обратную:

• (23/3) : (19/12) = (23/3) * (12/19) = (23 * 12) / (3 * 19) = 276 / 57.

Теперь умножим на (241/30):

• (276/57) * (241/30) = (276 * 241) / (57 * 30).

Теперь нужно посчитать числитель и знаменатель:

• 276 * 241 = 66516.
• 57 * 30 = 1710.

Таким образом, у нас получается дробь 66516/1710. Мы можем её упростить, если найдем наибольший общий делитель.

Находим НОД(66516, 1710),он равен 6. Делим числитель и знаменатель на 6:

• 66516 / 6 = 11086.
• 1710 / 6 = 285.

Таким образом, окончательный ответ: 11086/285.

Если нужно, можем перевести эту дробь в смешанное число.

Ответ: 11086/285 или в смешанном виде.