Чтобы найти сумму цифр суммы чисел 1, 11, 101, 1001, 10001 и так далее до числа, в котором 20 нулей, давайте сначала определим, сколько всего чисел у нас есть и как они выглядят.

Последовательность чисел выглядит так:

• 1 (1 ноль)
• 11 (1 ноль)
• 101 (2 нуля)
• 1001 (3 нуля)
• 10001 (4 нуля)
• ...
• 10...01 (20 нулей)

Мы видим, что каждое следующее число добавляет один ноль между единицей и единицей. Последнее число в этой последовательности будет 10...01, где 20 нулей между единицами.

Теперь давайте посчитаем, сколько всего чисел в этой последовательности. Первое число - это 1, второе - 11, третье - 101 и так далее. Мы видим, что количество нулей увеличивается от 0 до 20. Итак, всего у нас 21 число.

Теперь найдем сумму этих чисел:

• 1
• 11 = 1 + 10
• 101 = 1 + 100
• 1001 = 1 + 1000
• 10001 = 1 + 10000
• ...
• 10...01 = 1 + 10^20

Сумма всех этих чисел будет равна:

1 + 11 + 101 + 1001 + 10001 + ... + 10^20

Эта сумма представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член равен 1, а каждый следующий член - это 10 в степени (n), где n - количество нулей. Мы можем записать сумму как:

Сумма = 1 + 10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^20

Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма = a * (1 - r^(n+1)) / (1 - r)

где a - первый член, r - основание прогрессии, n - количество членов.

В нашем случае:

• a = 1
• r = 10
• n = 20

Подставим значения в формулу:

Сумма = 1 * (1 - 10^(20+1)) / (1 - 10) = (1 - 10^21) / (-9) = (10^21 - 1) / 9

Теперь нам нужно найти сумму цифр этого результата. Число 10^21 - 1 будет выглядеть как 999999999999999999999 (двадцать девяток). Когда мы делим это число на 9, мы получаем:

111111111111111111111 (двадцать единиц).

Теперь найдем сумму цифр этого числа:

• 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20

Ответ: Сумма цифр суммы этих чисел равна 20.