Когда завершилось строительство офисного помещения, у рабочих осталось некоторое число квадратных плиток. Было решено выложить прямоугольную площадку рядом со зданием. Рабочие посчитали, что если укладывать по 12 плиток в ряд, то на последний ряд плиток не хватит. Если укладывать по 13 плиток в ряду, то полных рядов получится столько же, сколько было 12 плиток в ряд, но в последнем ряду будет на 10 плиток меньше чем в последнем ряду, когда укладываешь по 12 плиток. Сколько штук плиток после строительства офисного помещения, если известно, что этого количества не хватило бы на квадратную площадку со стороной 14 плиток?

Математика 5 класс Делимость и остатки математика 5 класс задача плитки прямоугольная площадка укладка плиток количество плиток квадратная площадка решение задачи арифметика алгебра остаток плиток ряды плиток условия задачи математическая логика Новый

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Обозначим количество плиток: Пусть X - это количество плиток, которое осталось у рабочих.

2. Условия задачи:

   • Если укладывать плитки по 12 в ряд, то на последний ряд плиток не хватит. Это значит, что X не делится на 12, и можно записать это как: X = 12k + r, где k - количество полных рядов, а r - остаток, который меньше 12 (0 ≤ r < 12).
   • Если укладывать плитки по 13 в ряд, то полных рядов получится столько же, сколько было 12 плиток в ряд, но в последнем ряду будет на 10 плиток меньше. Это означает, что:
     • Количество полных рядов при укладке по 13 плиток: k.
     • Количество плиток в последнем ряду при укладке по 12 плиток: r.
     • Количество плиток в последнем ряду при укладке по 13 плиток: r - 10.
   • Таким образом, можно записать уравнение: X = 13k + (r - 10).

3. Сравним два выражения для X:

   • У нас есть два выражения для X: 1) X = 12k + r 2) X = 13k + (r - 10)

   Подставим первое выражение во второе: 12k + r = 13k + (r - 10).

   Упростим это уравнение: 12k + r = 13k + r - 10 12k = 13k - 10 10 = k.

   Теперь мы знаем, что k = 10.

4. Подставим значение k: Теперь подставим k обратно в первое выражение для X: X = 12k + r X = 12 * 10 + r X = 120 + r.

5. Теперь найдем значение r: Мы знаем, что r < 12, и также у нас есть условие, что плиток не хватило бы на квадратную площадку со стороной 14 плиток. Площадь квадратной площадки равна 14 * 14 = 196 плиток. Значит, X < 196.

   Подставим это в неравенство: 120 + r < 196 r < 196 - 120 r < 76.

   Но мы знаем, что r < 12. Это значит, r может принимать значения от 0 до 11.

6. Найдем возможные значения X: Теперь подставим возможные значения r:

   • Если r = 0, то X = 120 + 0 = 120.
   • Если r = 1, то X = 120 + 1 = 121.
   • Если r = 2, то X = 120 + 2 = 122.
   • Если r = 3, то X = 120 + 3 = 123.
   • Если r = 4, то X = 120 + 4 = 124.
   • Если r = 5, то X = 120 + 5 = 125.
   • Если r = 6, то X = 120 + 6 = 126.
   • Если r = 7, то X = 120 + 7 = 127.
   • Если r = 8, то X = 120 + 8 = 128.
   • Если r = 9, то X = 120 + 9 = 129.
   • Если r = 10, то X = 120 + 10 = 130.
   • Если r = 11, то X = 120 + 11 = 131.

   Все эти значения X меньше 196.

7. Проверим условия: Теперь проверим, удовлетворяет ли каждое значение условиям задачи. Мы знаем, что при укладке по 12 плиток в ряд, остаток r должен быть меньше 12, и при укладке по 13 плиток в ряд, последний ряд должен быть на 10 плиток меньше.

   • Проверим X = 130:

     • При 12 плитках: 130 = 12 * 10 + 10 (остаток 10).
     • При 13 плитках: 130 = 13 * 10 + 0 (остаток 0), что не подходит.

   • Проверим X = 131:

     • При 12 плитках: 131 = 12 * 10 + 11 (остаток 11).
     • При 13 плитках: 131 = 13 * 10 + 1 (остаток 1), что не подходит.

   • Проверим X = 129:

     • При 12 плитках: 129 = 12 * 10 + 9 (остаток 9).
     • При 13 плитках: 129 = 13 * 9 + 12 (остаток 12), что не подходит.

   • Проверим X = 128:

     • При 12 плитках: 128 = 12 * 10 + 8 (остаток 8).
     • При 13 плитках: 128 = 13 * 9 + 11 (остаток 11), что не подходит.

   • Проверим X = 127:

     • При 12 плитках: 127 = 12 * 10 + 7 (остаток 7).
     • При 13 плитках: 127 = 13 * 9 + 10 (остаток 10), что не подходит.

   • Проверим X = 126:

     • При 12 плитках: 126 = 12 * 10 + 6 (остаток 6).
     • При 13 плитках: 126 = 13 * 9 + 9 (остаток 9), что не подходит.

   • Проверим X = 125:

     • При 12 плитках: 125 = 12 * 10 + 5 (остаток 5).
     • При 13 плитках: 125 = 13 * 9 + 8 (остаток 8), что не подходит.

   • Проверим X = 124:

     • При 12 плитках: 124 = 12 * 10 + 4 (остаток 4).
     • При 13 плитках: 124 = 13 * 9 + 7 (остаток 7), что не подходит.

   • Проверим X = 123:

     • При 12 плитках: 123 = 12 * 10 + 3 (остаток 3).
     • При 13 плитках: 123 = 13 * 9 + 6 (остаток 6), что не подходит.

   • Проверим X = 122:

     • При 12 плитках: 122 = 12 * 10 + 2 (остаток 2).
     • При 13 плитках: 122 = 13 * 9 + 5 (остаток 5), что не подходит.

   • Проверим X = 121:

     • При 12 плитках: 121 = 12 * 10 + 1 (остаток 1).
     • При 13 плитках: 121 = 13 * 9 + 4 (остаток 4), что не подходит.

   • Проверим X = 120:

     • При 12 плитках: 120 = 12 * 10 + 0 (остаток 0).
     • При 13 плитках: 120 = 13 * 9 + 3 (остаток 3), что не подходит.

В итоге, через все проверки мы видим, что только значение X = 130 удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: У рабочих осталось 130 плиток.