На доску написали 152 различных натуральных числа. Можно ли утверждать, что среди этих чисел найдутся два таких, что их сумма или разность делится на 300?

Математика 6 класс Делимость чисел математика 6 класс натуральные числа сумма разность делится на 300 задача на делимость свойства чисел Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать принцип Дирихле. Этот принцип утверждает, что если у нас есть n предметов, которые мы распределяем по k ящикам, и если n > k, то в хотя бы одном ящике окажется не менее двух предметов.

В нашем случае у нас есть 152 различных натуральных числа. Мы будем рассматривать их по модулю 300, то есть будем смотреть на остатки от деления этих чисел на 300. Остатки могут принимать значения от 0 до 299, всего 300 различных значений.

Теперь давайте рассмотрим возможные остатки:

• Если два числа имеют одинаковый остаток при делении на 300, то их разность делится на 300.
• Если два числа имеют остатки a и b, то их сумма (a + b) делится на 300, если a + b = 300 или a + b = 0 (что невозможно в нашем случае, так как числа натуральные).

Теперь определим, сколько пар остатков (a, b) могут дать в сумме 300:

• (0, 300) - не возможно, так как 300 не является остатком.
• (1, 299)
• (2, 298)
• ...
• (150, 150)

Таким образом, мы можем составить пары остатков, которые в сумме дают 300:

• (0, 0)
• (1, 299)
• (2, 298)
• (3, 297)
• ...
• (149, 151)
• (150, 150)

Всего у нас есть 151 пара остатков. Если мы будем учитывать остаток 0, то у нас будет 151 остаток, которые могут образовать пары. Но у нас есть 152 различных числа. По принципу Дирихле, среди этих 152 чисел обязательно найдется как минимум два числа, которые будут иметь остатки, которые либо совпадают, либо в сумме дают 300.

Таким образом, мы можем утверждать, что среди 152 различных натуральных чисел найдутся два таких, что их сумма или разность делится на 300.