Давайте решим задачу шаг за шагом.

Нам нужно найти трёхзначные числа, которые удовлетворяют следующим условиям:

• Цифра сотен равна 5.
• Число делится на 4.
• Число делится на 9.

Начнём с первого условия. Если цифра сотен равна 5, то все такие числа имеют вид 5XY, где X и Y - это цифры десятков и единиц соответственно. Таким образом, числа будут от 500 до 599.

Теперь разберёмся с условиями делимости на 4 и 9.

1. Делимость на 4:

Число делится на 4, если последние две цифры (XY) образуют число, которое делится на 4. То есть, нам нужно проверить все числа от 00 до 99, которые заканчиваются на 5, чтобы узнать, какие из них делятся на 4.

2. Делимость на 9:

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. В нашем случае сумма цифр числа 5XY будет равна 5 + X + Y.

Теперь давайте найдем все возможные значения X и Y, которые удовлетворяют обоим условиям.

Сначала найдем все возможные числа XY, которые делятся на 4. Вот они:

• 00
• 04
• 08
• 12
• 16
• 20
• 24
• 28
• 32
• 36
• 40
• 44
• 48
• 52
• 56
• 60
• 64
• 68
• 72
• 76
• 80
• 84
• 88
• 92
• 96

Теперь из этих чисел нам нужно найти те, которые также делятся на 9. Для этого проверим сумму цифр:

Сумма цифр 5 + X + Y должна делиться на 9. Теперь проверим каждую пару XY из списка:

1. 00: 5 + 0 + 0 = 5 (не делится на 9)
2. 04: 5 + 0 + 4 = 9 (делится на 9)
3. 08: 5 + 0 + 8 = 13 (не делится на 9)
4. 12: 5 + 1 + 2 = 8 (не делится на 9)
5. 16: 5 + 1 + 6 = 12 (не делится на 9)
6. 20: 5 + 2 + 0 = 7 (не делится на 9)
7. 24: 5 + 2 + 4 = 11 (не делится на 9)
8. 28: 5 + 2 + 8 = 15 (не делится на 9)
9. 32: 5 + 3 + 2 = 10 (не делится на 9)
10. 36: 5 + 3 + 6 = 14 (не делится на 9)
11. 40: 5 + 4 + 0 = 9 (делится на 9)
12. 44: 5 + 4 + 4 = 13 (не делится на 9)
13. 48: 5 + 4 + 8 = 17 (не делится на 9)
14. 52: 5 + 5 + 2 = 12 (не делится на 9)
15. 56: 5 + 5 + 6 = 16 (не делится на 9)
16. 60: 5 + 6 + 0 = 11 (не делится на 9)
17. 64: 5 + 6 + 4 = 15 (не делится на 9)
18. 68: 5 + 6 + 8 = 19 (не делится на 9)
19. 72: 5 + 7 + 2 = 14 (не делится на 9)
20. 76: 5 + 7 + 6 = 18 (делится на 9)
21. 80: 5 + 8 + 0 = 13 (не делится на 9)
22. 84: 5 + 8 + 4 = 17 (не делится на 9)
23. 88: 5 + 8 + 8 = 21 (не делится на 9)
24. 92: 5 + 9 + 2 = 16 (не делится на 9)
25. 96: 5 + 9 + 6 = 20 (не делится на 9)

Таким образом, числа, которые удовлетворяют всем условиям:

• 504
• 540
• 576

Итак, у нас есть три трёхзначных числа: 504, 540 и 576, которые имеют цифру сотен равную 5 и делятся на 4 и 9.

Ответ: Существует 3 трёхзначных числа, удовлетворяющих условиям задачи.