Чтобы решить выражение 5/9 + 1 5/7 * (4 2/3 - 2 5/8) : 1 3/4, давайте разберём его по шагам.

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   • 1 5/7 = (1 * 7 + 5) / 7 = 12/7
   • 4 2/3 = (4 * 3 + 2) / 3 = 14/3
   • 2 5/8 = (2 * 8 + 5) / 8 = 21/8
   • 1 3/4 = (1 * 4 + 3) / 4 = 7/4
2. Теперь подставим полученные дроби в выражение:

   5/9 + (12/7) * (14/3 - 21/8) : (7/4)

3. Выполним вычитание в скобках:
   • Чтобы вычесть дроби 14/3 и 21/8, найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 8 равен 24.
   • 14/3 = (14 * 8) / (3 * 8) = 112/24
   • 21/8 = (21 * 3) / (8 * 3) = 63/24
   • Теперь вычтем: 112/24 - 63/24 = (112 - 63) / 24 = 49/24.
4. Теперь подставим результат обратно в выражение:

   5/9 + (12/7) * (49/24) : (7/4)

5. Выполним умножение:
   • (12/7) * (49/24) = (12 * 49) / (7 * 24) = 588 / 168.
   • Упростим дробь: 588 и 168 делятся на 84. Получаем 7/2.
6. Теперь подставим это значение в выражение:

   5/9 + (7/2) : (7/4)

7. Выполним деление:
   • (7/2) : (7/4) = (7/2) * (4/7) = (7 * 4) / (2 * 7) = 4/2 = 2.
8. Теперь подставим это значение:

   5/9 + 2.

9. Приведём 2 к дробной форме:

   2 = 18/9.

10. Теперь сложим дроби:

    5/9 + 18/9 = (5 + 18) / 9 = 23/9.

Таким образом, окончательный ответ: 23/9.