Какое значение имеет x в уравнении 3 + 7 + 11 + ... + 4x - 3 = 820?

Математика 7 класс Уравнения и неравенства уравнение значение x математика 7 класс решение уравнения арифметическая прогрессия сумма чисел математическая задача Новый

Чтобы решить уравнение 3 + 7 + 11 + ... + 4x - 3 = 820, давайте сначала разберемся с последовательностью, которая здесь представлена.

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член (a) = 3
• Второй член = 7
• Третий член = 11

Мы видим, что каждый следующий член увеличивается на 4. Таким образом, общее правило для n-го члена прогрессии можно записать как:

a_n = 3 + (n - 1) * 4

Теперь давайте упростим это выражение:

a_n = 4n - 1

Теперь мы можем выразить последний член прогрессии, который равен 4x - 3. Установим его равным n-му члену:

4x - 3 = 4n - 1

Решим это уравнение для n:

Добавим 3 к обеим сторонам:

4x = 4n + 2

Теперь разделим обе стороны на 4:

x = n + 0.5

Теперь мы можем найти сумму первых n членов прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

S_n = n/2 * (a_1 + a_n)

Где:

• S_n - сумма первых n членов
• a_1 - первый член
• a_n - n-й член

В нашем случае:

• a_1 = 3
• a_n = 4n - 1

Подставим данные в формулу суммы:

S_n = n/2 * (3 + (4n - 1))

S_n = n/2 * (4n + 2)

S_n = n * (2n + 1)

Теперь мы знаем, что сумма S_n равна 820:

n * (2n + 1) = 820

Теперь решим это уравнение:

2n^2 + n - 820 = 0

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = 1, c = -820.

Сначала найдем дискриминант:

D = 1^2 - 4 * 2 * (-820) = 1 + 6560 = 6561

Теперь найдем корни:

n = (-1 ± √6561) / 4

Корень из 6561 равен 81:

n = (-1 ± 81) / 4

Теперь найдем два возможных значения n:

• n1 = (80) / 4 = 20
• n2 = (-82) / 4 (отрицательное значение, не подходит)

Таким образом, n = 20. Теперь подставим n в формулу для x:

x = n + 0.5 = 20 + 0.5 = 20.5

Итак, значение x в уравнении 3 + 7 + 11 + ... + 4x - 3 = 820 равно 20.5.