Какова сумма всех трехзначных чисел, которые при делении на 29 оставляют остаток 13?

Математика 7 класс Суммы чисел тризначные числа сумма трехзначных чисел деление на 29 остаток 13 математика 7 класс Новый

Чтобы найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 29 оставляют остаток 13, давайте сначала определим, какие числа подходят под это условие.

Шаг 1: Определение первого и последнего трехзначного числа

• Трехзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются на 999.
• Чтобы найти первое трехзначное число, которое при делении на 29 дает остаток 13, мы можем записать его в виде: x = 29k + 13, где k – целое число.
• Нам нужно, чтобы x было больше или равно 100. То есть: 29k + 13 ≥ 100.
• Решим неравенство: 29k ≥ 87 или k ≥ 3.
• Подставим k = 3: x = 29 * 3 + 13 = 87 + 13 = 100. Это первое число.

Шаг 2: Нахождение последнего трехзначного числа

• Теперь найдем последнее трехзначное число, которое также соответствует условию. Для этого нам нужно, чтобы x ≤ 999.
• Решим неравенство: 29k + 13 ≤ 999.
• Это неравенство можно переписать как 29k ≤ 986 или k ≤ 34.
• Подставим k = 34: x = 29 * 34 + 13 = 986 + 13 = 999. Это последнее число.

Шаг 3: Определение последовательности

• Теперь у нас есть последовательность трехзначных чисел: 100, 129, 158, ..., 999.
• Эта последовательность является арифметической, где a1 = 100, d = 29 (разница между соседними числами).
• Чтобы найти количество членов последовательности, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1) * d.
• Зная, что an = 999, подставим в формулу: 999 = 100 + (n-1) * 29.
• Решим уравнение: 899 = (n-1) * 29 или n-1 = 31, следовательно, n = 32.

Шаг 4: Нахождение суммы

• Сумма S всех членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: S = n/2 * (a1 + an).
• Подставим наши значения: S = 32/2 * (100 + 999) = 16 * 1099.
• Теперь вычислим: S = 17584.

Ответ: Сумма всех трехзначных чисел, которые при делении на 29 оставляют остаток 13, равна 17584.