Периметр прямоугольного класса составляет 32 м. Как можно доказать, что площадь этого класса не превышает 64 м²?

Математика 7 класс Периметр и площадь прямоугольника периметр прямоугольника площадь прямоугольника доказательство площади математика 7 класс задачи по математике Новый

Для начала давайте вспомним, что периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2(a + b),

где P — периметр, a и b — длины сторон прямоугольника.

В нашем случае периметр равен 32 м, значит:

2(a + b) = 32.

Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 16.

Теперь мы можем выразить одну сторону через другую. Например, пусть b = 16 - a.

Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь S вычисляется по формуле:

S = a * b.

Подставим выражение для b в формулу площади:

S = a * (16 - a).

Раскроем скобки:

S = 16a - a².

Теперь у нас есть квадратная функция, и мы можем найти ее максимум. Эта функция имеет вид параболы, открытой вниз (так как коэффициент при a² отрицательный).

Максимум параболы находится в вершине, координаты которой можно найти по формуле:

a = -b / (2a),

где b — коэффициент при a (в данном случае -16), а a — коэффициент при a² (в данном случае -1).

Подставим значения:

a = -(-16) / (2 * -1) = 16 / -2 = -8.

Однако, это значение не имеет смысла в нашем контексте, так как длина стороны не может быть отрицательной. Вместо этого, мы должны найти значение a в пределах от 0 до 16.

Чтобы найти максимальную площадь, мы можем использовать значение a = 8 (половина от 16), что дает:

b = 16 - 8 = 8.

Теперь можем вычислить площадь:

S = 8 * 8 = 64 м².

Таким образом, площадь прямоугольника не может превышать 64 м², так как при любых других значениях a и b, которые удовлетворяют условию a + b = 16, площадь будет меньше 64 м².

В заключение, мы доказали, что площадь прямоугольного класса с периметром 32 м не превышает 64 м².