Чтобы выяснить, сколько раз встречается единица в записи суммы 9 + 99 + ... + 99...9 (где последний член состоит из 2013 девяток), сначала определим, сколько членов в этой последовательности и как их можно записать.

Каждый член последовательности можно представить в виде 9, 99, 999 и так далее. Число 9 можно записать как 10^1 - 1, число 99 как 10^2 - 1, число 999 как 10^3 - 1 и так далее. Таким образом, общий вид n-го члена можно записать как:

• 9 = 10^1 - 1
• 99 = 10^2 - 1
• 999 = 10^3 - 1
• ...
• 99...9 (2013 девяток) = 10^2013 - 1

Теперь, чтобы найти сумму всех этих членов, мы можем записать её следующим образом:

S = (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ... + (10^2013 - 1)

Сложим все члены:

S = (10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^2013) - (2013)

Сумма геометрической прогрессии (10^1 + 10^2 + ... + 10^2013) равна:

10 * (10^2013 - 1) / (10 - 1) = 10 * (10^2013 - 1) / 9

Теперь подставим это значение в формулу для S:

S = (10 * (10^2013 - 1) / 9) - 2013

Теперь, чтобы найти, сколько раз встречается единица в записи числа S, нам нужно рассмотреть, как выглядит это число. Для этого сначала упростим S:

Обратите внимание, что при сложении 9 + 99 + ... + 99...9 (2013 девяток) в записи суммы будут появляться единицы в результате переноса, который происходит, когда мы складываем числа. Каждый раз, когда мы добавляем 9, мы получаем 10, что добавляет единицу в следующую позицию.

Таким образом, в записи суммы будет:

• 1 единица от первого 9 (в позиции десятков),
• 1 единица от второго 9 (в позиции сотен),
• 1 единица от третьего 9 (в позиции тысяч),
• ...
• 1 единица от 2013-го 9 (в позиции 10^2012).

Итак, у нас будет 2013 единиц в записи числа S.

Ответ: 2013 раз.