В прямоугольном треугольнике АВС, где угол С прямой, угол А равен 60°, а длина стороны AC составляет 15 см, каким образом можно вычислить периметр и площадь этого треугольника?

Математика 7 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник угол А 60 градусов длина стороны AC 15 см периметр треугольника площадь треугольника вычисление периметра вычисление площади Новый

Чтобы найти периметр и площадь прямоугольного треугольника ABC, где угол C является прямым, угол A равен 60°, а сторона AC равна 15 см, следуем следующим шагам:

1. Найдем длину стороны AB (гипотенузы):

В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем использовать соотношения тригонометрических функций. В данном случае:

• Синус угла A: sin(60°) = AC / AB.
• Косинус угла A: cos(60°) = BC / AB.

Используя синус, мы можем выразить AB:

sin(60°) = AC / AB

AB = AC / sin(60°) = 15 / (sqrt(3)/2) = 15 * 2/sqrt(3) = 30/sqrt(3) см.

2. Найдем длину стороны BC:

Теперь используем косинус:

cos(60°) = BC / AB

BC = AB * cos(60°) = (30/sqrt(3)) * (1/2) = 15/sqrt(3) см.

3. Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC:

Периметр P треугольника равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + AC + BC = (30/sqrt(3)) + 15 + (15/sqrt(3)).

Объединим подобные слагаемые:

P = (30/sqrt(3) + 15/sqrt(3)) + 15 = (45/sqrt(3)) + 15.

4. Найдем площадь треугольника ABC:

Площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (1/2) * AC * BC.

Сначала найдем BC, используя ранее найденное значение:

S = (1/2) * 15 * (15/sqrt(3)) = (15 * 15)/(2 * sqrt(3)) = 225/(2 * sqrt(3)).

Итак, мы нашли:

• Периметр P = (45/sqrt(3)) + 15 см.
• Площадь S = 225/(2 * sqrt(3)) см².