Чтобы записать бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей, нужно использовать некоторые алгебраические преобразования. Давайте разберем каждую из дробей по отдельности.

1. 0,(6)

Обозначим x = 0,6666... (где 6 повторяется бесконечно). Умножим обе стороны на 10:

10x = 6,6666...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

10x - x = 6,6666... - 0,6666...

9x = 6

Отсюда x = 6/9 = 2/3. Таким образом, 0,(6) = 2/3.

2. 1,(55)

Обозначим y = 1,5555... Умножим обе стороны на 10:

10y = 15,5555...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

10y - y = 15,5555... - 1,5555...

9y = 14

Отсюда y = 14/9. Таким образом, 1,(55) = 14/9.

3. 0,1(2)

Обозначим z = 0,12222... Умножим обе стороны на 10:

10z = 1,2222...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

10z - z = 1,2222... - 0,1222...

9z = 1,1

z = 1,1/9. Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

z = 11/90. Таким образом, 0,1(2) = 11/90.

4. -0,(8)

Обозначим w = -0,8888... Умножим обе стороны на 10:

10w = -8,8888...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

10w - w = -8,8888... - (-0,8888...)

9w = -8

Отсюда w = -8/9. Таким образом, -0,(8) = -8/9.

5. -3,(27)

Обозначим v = -3,272727... Умножим обе стороны на 100:

100v = -327,272727...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

100v - v = -327,272727... - (-3,272727...)

99v = -324

Отсюда v = -324/99. Упростим дробь:

v = -108/33 = -36/11. Таким образом, -3,(27) = -36/11.

6. -2,3(82)

Обозначим u = -2,382828... Умножим обе стороны на 100:

100u = -238,282828...

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

100u - u = -238,282828... - (-2,382828...)

99u = -235,9

u = -2359/990. Упростим дробь, если возможно. Таким образом, -2,3(82) = -2359/990.

Итак, результаты:

• 0,(6) = 2/3
• 1,(55) = 14/9
• 0,1(2) = 11/90
• -0,(8) = -8/9
• -3,(27) = -36/11
• -2,3(82) = -2359/990