Давайте поочередно докажем каждое из данных неравенств.

Начнем с преобразования неравенства:

1. Умножим обе стороны на 2 (поскольку 2 > 0, знак неравенства не изменится):
2. (a² + 1) ≥ 2a.
3. Переносим все в одну сторону:
4. a² - 2a + 1 ≥ 0.

Теперь заметим, что выражение a² - 2a + 1 можно представить как (a - 1)². Таким образом, мы имеем:

(a - 1)² ≥ 0.

Это неравенство верно для любых действительных a, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Таким образом, первое неравенство доказано.

Аналогично, преобразуем это неравенство:

1. Умножим обе стороны на 4:
2. b² + 16 ≥ 4b.
3. Переносим все в одну сторону:
4. b² - 4b + 16 ≥ 0.

Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

D = (-4)² - 4 * 1 * 16 = 16 - 64 = -48.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение b² - 4b + 16 не имеет действительных корней, и парабола открыта вверх. Это означает, что выражение всегда положительно для любых действительных b. Таким образом, второе неравенство также доказано.

Теперь рассмотрим третье неравенство:

1. Умножим обе стороны на (x² + 1) (это выражение всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится):
2. 2x ≤ x² + 1.
3. Переносим все в одну сторону:
4. x² - 2x + 1 ≥ 0.

Как и в первом случае, мы можем представить это выражение как (x - 1)². Таким образом, мы имеем:

(x - 1)² ≥ 0.

Это неравенство также верно для любых действительных x, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Таким образом, и третье неравенство доказано.

В итоге, мы доказали все три неравенства:

• (a² + 1)/2 ≥ a;
• (b² + 16)/4 ≥ b;
• (2x)/(x² + 1) ≤ 1.