Для того чтобы доказать, что остаток при делении произведения чисел a и b равен 2, начнем с условий задачи.

У нас есть два натуральных числа:

• Число a, остаток при делении на 6 которого равен 5. Это можно записать как: a = 6k + 5, где k - целое неотрицательное число.
• Число b, остаток при делении на 6 которого равен 4. Это можно записать как: b = 6m + 4, где m - целое неотрицательное число.

Теперь мы найдем произведение a и b:

1. Подставим выражения для a и b в произведение: a * b = (6k + 5)(6m + 4).
2. Теперь раскроем скобки: a * b = 6k * 6m + 6k * 4 + 5 * 6m + 5 * 4.
3. Упрощаем: a * b = 36km + 24k + 30m + 20.

Теперь нам нужно найти остаток от деления этого произведения на 6. Обратим внимание, что все члены, кроме 20, делятся на 6:

• 36km делится на 6.
• 24k делится на 6.
• 30m делится на 6.

Поэтому остаток от деления всего выражения a * b на 6 будет равен остатку от деления 20 на 6.

Теперь найдем остаток от деления 20 на 6:

1. 20 делим на 6: 20 = 6 * 3 + 2.
2. Остаток равен 2.

Таким образом, остаток при делении произведения чисел a и b на 6 равен 2.

Мы доказали, что остаток при делении произведения a и b равен 2, что и требовалось показать.