Чтобы найти четырехзначное натуральное число, которое при делении на 80 и на 75 оставляет остаток 23, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Запишем условия задачи.

• Пусть искомое число обозначим как N.
• По условию, N % 80 = 23.
• Также, N % 75 = 23.

Шаг 2: Перепишем условия.

Мы можем переписать оба условия следующим образом:

• N = 80k + 23, где k – целое число.
• N = 75m + 23, где m – целое число.

Таким образом, оба выражения для N равны, и мы можем приравнять их:

80k + 23 = 75m + 23.

Упростим это уравнение, вычтя 23 с обеих сторон:

80k = 75m.

Шаг 3: Перепишем уравнение.

Теперь мы можем выразить m через k:

m = (80/75)k = (16/15)k.

Это означает, что 16k должно быть кратно 15. Чтобы найти такое k, мы можем записать:

16k = 15n, где n – целое число.

Шаг 4: Найдем общее решение.

Теперь выразим k:

k = (15/16)n.

Так как k должно быть целым числом, n должно быть кратно 16. Пусть n = 16p, где p – целое число. Тогда:

k = (15/16)(16p) = 15p.

Шаг 5: Подставим k в выражение для N.

Теперь подставим k обратно в одно из выражений для N. Например, в N = 80k + 23:

N = 80(15p) + 23 = 1200p + 23.

Шаг 6: Найдем диапазон для N.

Теперь нам нужно, чтобы N было четырехзначным числом. То есть:

1000 ≤ 1200p + 23 < 10000.

Упростим это неравенство:

• 1000 ≤ 1200p + 23 ⟹ 977 ≤ 1200p ⟹ p ≥ 977/1200 ≈ 0.814.
• 1200p + 23 < 10000 ⟹ 1200p < 9977 ⟹ p < 9977/1200 ≈ 8.314.

Таким образом, p может принимать значения от 1 до 8.

Шаг 7: Найдем значения N.

• Для p = 1: N = 1200*1 + 23 = 1223.
• Для p = 2: N = 1200*2 + 23 = 2423.
• Для p = 3: N = 1200*3 + 23 = 3623.
• Для p = 4: N = 1200*4 + 23 = 4823.
• Для p = 5: N = 1200*5 + 23 = 6023.
• Для p = 6: N = 1200*6 + 23 = 7223.
• Для p = 7: N = 1200*7 + 23 = 8423.
• Для p = 8: N = 1200*8 + 23 = 9623.

Шаг 8: Проверка.

Теперь проверим, все ли найденные числа при делении на 80 и 75 дают остаток 23:

• 1223 % 80 = 23.
• 1223 % 75 = 23.
• 2423 % 80 = 23.
• 2423 % 75 = 23.
• 3623 % 80 = 23.
• 3623 % 75 = 23.
• 4823 % 80 = 23.
• 4823 % 75 = 23.
• 6023 % 80 = 23.
• 6023 % 75 = 23.
• 7223 % 80 = 23.
• 7223 % 75 = 23.
• 8423 % 80 = 23.
• 8423 % 75 = 23.
• 9623 % 80 = 23.
• 9623 % 75 = 23.

Все найденные числа удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Четырехзначные натуральные числа, удовлетворяющие условиям задачи: 1223, 2423, 3623, 4823, 6023, 7223, 8423, 9623.