Какой остаток получается при делении числа 25, возведенного в степень 987654321, на 13?

Математика 8 класс Остатки от деления остаток при делении число 25 степень 987654321 деление на 13 математика 8 класс

Остаток при делении числа 25, возведенного в степень 987654321, на 13 равен:

12

Чтобы найти остаток от деления числа 25, возведенного в степень 987654321, на 13, мы можем использовать теорему Ферма. Эта теорема утверждает, что если p — простое число, а a — целое число, не делящееся на p, то:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

В нашем случае:

• a = 25
• p = 13

Сначала проверим, что 25 не делится на 13. Теперь найдем p - 1:

• p - 1 = 13 - 1 = 12

По теореме Ферма, мы знаем, что:

25^12 ≡ 1 (mod 13)

Теперь нам нужно найти, как 987654321 соотносится с 12. Для этого мы вычислим остаток от деления 987654321 на 12:

Сначала найдем 987654321 mod 12. Для этого можно воспользоваться делением:

• 987654321 / 12 ≈ 82304526.75 (целая часть - 82304526)
• 82304526 * 12 = 987654312
• 987654321 - 987654312 = 9

Таким образом:

987654321 mod 12 = 9

Теперь мы можем выразить 25^987654321 как:

25^987654321 ≡ 25^9 (mod 13)

Теперь нам нужно найти 25 mod 13:

• 25 mod 13 = 12

Таким образом, мы можем заменить 25 на 12:

25^9 ≡ 12^9 (mod 13)

Теперь нам нужно вычислить 12^9 mod 13. Обратите внимание, что 12 ≡ -1 (mod 13), поэтому:

12^9 ≡ (-1)^9 (mod 13)

Так как -1 в нечетной степени остается -1, мы имеем:

12^9 ≡ -1 (mod 13)

Теперь, чтобы получить положительный остаток, можно добавить 13:

-1 + 13 = 12

Таким образом, остаток от деления 25, возведенного в степень 987654321, на 13 равен:

12