Как можно доказать, что при выполнении равенства ab + c = bc + a = ca + b, верно, что (a - b)(b - c)(c - a) = 0?

Математика 8 класс Системы уравнений и неравенств доказательство равенства математика 8 класс равенство ab + c свойства равенств решение уравнений математические доказательства алгебраические выражения равенства с переменными Новый

Чтобы доказать, что при выполнении равенства ab + c = bc + a = ca + b верно, что (a - b)(b - c)(c - a) = 0, мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Запишем равенства:
• ab + c = k
• bc + a = k
• ca + b = k

где k - некоторое значение, равное всем трем выражениям.

2. Рассмотрим первое равенство:

Из первого равенства ab + c = k можно выразить c:

• c = k - ab
3. Подставим c во второе равенство:

Рассмотрим второе равенство bc + a = k. Подставляя значение c, получаем:

• b(k - ab) + a = k
• bk - ab^2 + a = k
• bk + a - k = ab^2
• (b - 1)k + a = ab^2
• k = (ab^2 - a) / (b - 1)
4. Аналогично подставим c в третье равенство:

Рассмотрим третье равенство ca + b = k:

• (k - ab)a + b = k
• ka - a^2b + b = k
• (a - 1)k + b = a^2b
• k = (a^2b - b) / (a - 1)
5. Сравним два выражения для k:

Теперь у нас есть два выражения для k:

• (ab^2 - a) / (b - 1)
• (a^2b - b) / (a - 1)

Приравнивая их, мы можем получить уравнение, которое в конечном итоге будет зависеть от a, b и c.

6. Рассмотрим случаи:

При решении этого уравнения, мы можем заметить, что если:

• a = b,
• b = c,
• c = a,

то одно из множителей (a - b)(b - c)(c - a) будет равно нулю.

7. Заключение:

Таким образом, если выполняется равенство ab + c = bc + a = ca + b, то необходимо, чтобы хотя бы одно из равенств a = b, b = c или c = a было верным, что и доказывает, что (a - b)(b - c)(c - a) = 0.