Чтобы решить двойное неравенство x² < 2x + 3 < 7, мы разобьем его на два отдельных неравенства и решим каждое из них по очереди.

1. Решим первое неравенство x² < 2x + 3.

   • Перенесем все члены на одну сторону: x² - 2x - 3 < 0.
   • Теперь решим квадратное неравенство: x² - 2x - 3 < 0.
   • Для этого найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 3 = 0. Используем формулу корней квадратного уравнения:
   • Корни: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
   • Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
   • Корни уравнения: x = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
   • Получаем корни: x₁ = -1 и x₂ = 3.
   • Располагаем корни на числовой оси и определяем интервалы: (-∞, -1), (-1, 3), (3, ∞).
   • Проверим знак выражения x² - 2x - 3 в каждом интервале:
   • На интервале (-∞, -1) знак выражения положительный.
   • На интервале (-1, 3) знак выражения отрицательный.
   • На интервале (3, ∞) знак выражения положительный.
   • Таким образом, решение первого неравенства: x ∈ (-1, 3).

2. Решим второе неравенство 2x + 3 < 7.

   • Перенесем 3 на правую сторону: 2x < 4.
   • Разделим обе части на 2: x < 2.

Теперь мы должны найти пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство: x ∈ (-1, 3).
• Второе неравенство: x < 2, что соответствует интервалу (-∞, 2).

Пересечение этих интервалов: x ∈ (-1, 2).

Таким образом, решение двойного неравенства x² < 2x + 3 < 7 будет x ∈ (-1, 2).