Как найти два числа, если известно, что сумма частных от деления каждого из них на наибольший общий делитель равна 18, а их наименьшее кратное составляет 975?

Математика 8 класс Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное найти два числа сумма частных наибольший общий делитель наименьшее кратное задача по математике решение уравнения деление чисел свойства чисел математическая задача ГДЗ математика 8 класс Новый

Чтобы найти два числа, давайте обозначим их как a и b. Из условия задачи мы знаем два важных факта:

• Сумма частных от деления каждого из них на наибольший общий делитель (НОД) равна 18:
• Их наименьшее общее кратное (НОК) составляет 975.

Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда можно записать:

• a = d * m
• b = d * n

где m и n — это такие числа, что НОД(m, n) = 1 (то есть m и n взаимно простые).

Теперь подставим эти выражения в первое условие:

m + n = 18

Теперь рассмотрим второе условие. Мы знаем, что:

НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b)

Подставим выражения для a и b:

НОК(d * m, d * n) = (d * m * d * n) / d = d * m * n

Итак, у нас есть:

d * m * n = 975

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. m + n = 18
2. d * m * n = 975

Давайте выразим n через m из первого уравнения:

n = 18 - m

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

d * m * (18 - m) = 975

Теперь раскроем скобки:

d * (18m - m^2) = 975

Теперь мы можем выразить d:

d = 975 / (18m - m^2)

Так как d должно быть целым числом, то 18m - m^2 должно делить 975 нацело. Теперь давайте рассмотрим возможные значения m:

Поскольку m + n = 18, то m может принимать значения от 1 до 17. Проверим каждое значение:

• m = 1: n = 17, d = 975 / (18*1 - 1^2) = 975 / 17 = 57.35 (не целое)
• m = 2: n = 16, d = 975 / (18*2 - 2^2) = 975 / 28 = 34.82 (не целое)
• m = 3: n = 15, d = 975 / (18*3 - 3^2) = 975 / 45 = 21.67 (не целое)
• m = 4: n = 14, d = 975 / (18*4 - 4^2) = 975 / 60 = 16.25 (не целое)
• m = 5: n = 13, d = 975 / (18*5 - 5^2) = 975 / 75 = 13 (целое)
• m = 6: n = 12, d = 975 / (18*6 - 6^2) = 975 / 84 = 11.61 (не целое)
• m = 7: n = 11, d = 975 / (18*7 - 7^2) = 975 / 91 = 10.73 (не целое)
• m = 8: n = 10, d = 975 / (18*8 - 8^2) = 975 / 96 = 10.16 (не целое)
• m = 9: n = 9, d = 975 / (18*9 - 9^2) = 975 / 81 = 12.04 (не целое)

Мы нашли, что при m = 5 и n = 13 значение d равно 13. Теперь подставим обратно:

• a = d * m = 13 * 5 = 65
• b = d * n = 13 * 13 = 169

Теперь проверим:

• Сумма частных: 65 / 13 + 169 / 13 = 5 + 13 = 18 (всё верно)
• Наименьшее общее кратное: НОК(65, 169) = 975 (всё верно)

Таким образом, два числа, которые мы искали, это 65 и 169.